Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos calcular directamente \begin{align*}P(\alpha^3)-P(\beta^3)&=3(\alpha^6-\beta^6)+3m(\alpha^3-\beta^3)\\ &=3(\alpha^3+\beta^3)(\alpha^3-\beta^3)+3m(\alpha^3-\beta^3)\\ &=3(\alpha^3-\beta^3)(\alpha^3+\beta^3+m) \end{align*} Como $\alpha\neq\beta$, tendremos que probar que $\alpha^3+\beta^3=-m$ y habremos terminado. Esto es un cálculo estándar de polinomios simétricos de las raíces del polinomio: \begin{align*} \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha^2\beta-3\alpha\beta^2=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ &=(-m)^3-3\cdot\tfrac{m^2-1}{3}\cdot (-m)=-m^3+(m^3-m)=-m, \end{align*} donde hemos usado que conocemos la suma $\alpha+\beta=-m$ y el producto $\alpha\beta=\frac{m^2-1}{3}$ a partir de los coeficientes de $P(x)$ (relaciones de Cardano-Vieta).

Solución. Trabajando con la raíz $\alpha$, tenemos que $3\alpha^3+3m\alpha^2+(m^2-1)\alpha=0$, luego podemos multiplicar esta igualdad por $\alpha$ y despejar $\alpha^3$ como \[\alpha^3=-m\alpha^2+\tfrac{1-m^2}{3}\alpha=-m(\tfrac{1-m^2}{3}-m\alpha)+\tfrac{1-m^2}{3}\alpha=\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3}.\] De esta manera, podemos evaluar (omitimos los cálculos de la simplificación): \begin{align*} P(\alpha^3)&=P(\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3})\\ &=3(\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3})^2+3m(\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3})+m^2-1\\ &=\tfrac{(1+2m^2)^2}{9}(3a^2+3am+m^2-1)-\tfrac{1}{9}(m^6-3m^4-3m^2+8). \end{align*} Usando de nuevo que $\alpha$ es raíz, tenemos que $P(\alpha^3)=-\tfrac{1}{9}(m^6-3m^4-3m^2+8)$, pero el mismo cálculo vale para $\beta$ luego $P(\alpha^3)=P(\beta^3)$.

Nota. Aunque la otra solución propuesta es más elegante, hay trucos que permiten manipular potencias de las raíces de un polinomio con cierta fluidez. En una prueba de olimpiada puede preferirse un cálculo más largo si estamos convencidos de que así saldrá la solución frente a buscar opciones más elegantes.

Solución. Como sabemos las raíces de ambos polinomios, podemos escribir \begin{align*} P(x)&=x^3+Ax^2+Bx+C=(x-a)(x-b)(x-c),\\ Q(x)&=3x^2+2Ax+B=3(x-\tfrac{a+b}{2})(x-\tfrac{b+c}{2}). \end{align*} Desarrollando los paréntesis e igualando coeficientes, obtenemos las llamadas relaciones de Cardano-Vieta para ambos polinomios: \[P(x):\left\{\begin{array}{l} a+b+c=-A\\ ab+bc+ac=B\\ abc=-C \end{array}\right.\qquad\qquad Q(x):\left\{\begin{array}{l}a+2b+c=\frac{-4A}{3}\\ ab+bc+ca+b^2=\frac{4B}{3}\end{array}\right.\] Usando las relaciones para $P(x)$, podemos transformar las de $Q(x)$ en \[\tfrac{-4A}{3}=a+2b+c=-A+b,\qquad \tfrac{4B}{3}=ab+bc+ca+b^2=B+b^2,\] de donde deducimos que $b=\frac{-A}{3}$ y $b^2=\frac{B}{3}$. De aquí podemos decir que $\frac{A^2}{9}=b^2=\frac{B}{3}$, luego $A^2=3B$, lo que a su vez nos permite reescribir \[Q(x)=3x^2+2Ax+B=3x^2+2Ax+\tfrac{1}{3}A^2=\frac{1}{3}(3x+A)^2.\] Por tanto, las dos raíces de $Q(x)$ son iguales a $\frac{-A}{3}$, es decir, \[\frac{a+b}{2}=\frac{b+c}{2}=\frac{-A}{3}\ \Longleftrightarrow\ a=c=\frac{-2A}{3}-b=\frac{-A}{3}.\] Como ya sabíamos que $b=\frac{-A}{3}$, llegamos a que las tres raíces de $P(x)$ tienen que ser iguales, es decir, la solución al problema son los polinomios $P(x)=(x-a)^3$ y $Q(x)=3(x-a)^2$ para cualquier $a\in\mathbb{R}$, que claramente cumplen las condiciones propuestas.

Nota. Este resultado es curioso porque si pensamos en un polinomio $P(x)$ con tres raíces reales $a\lt b\lt c$, el polinomio $Q(x)$ es la derivada de $P(x)$ y tiene una raíz estrictamente entre $a$ y $b$ y la otra estrictamente entre $b$ y $c$ (por el teorema de Rolle). El problema nos dice que, salvo que todas las raíces coincidan, el máximo y el mínimo locales de $P(x)$ no pueden ser los puntos medios de los intervalos $[a,b]$ y $[b,c]$. En realidad, se puede demostrar que siempre estas raíces están más cerca de $a$ o $c$ que de $b$. ¿Sabrías probarlo?

Solución. Llamemos $\alpha,\beta,\gamma$ a las raíces de $P(x)$, con lo que las raíces de $Q(x)$ son $\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma}$. Desarrollando e igualando coeficientes en las identidades \begin{align*} P(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3+ax^2+bx+c,\\ Q(x)&=(x-\frac{1}{\alpha})(x-\frac{1}{\beta})(x-\frac{1}{\gamma})=x^3+Ax^2+Bx+C, \end{align*} obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para ambos polinomios: \begin{align*} a&=-\alpha-\beta-\gamma&A&=-\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\gamma},\\ b&=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&B&=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}. \end{align*} Ahora utilizamos la desigualdad entre las medias aritmética y armónica y el hecho de que $\alpha,\beta,\gamma\gt 0$ para estimar: \begin{align*} \frac{3}{-A}&=\frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}\leq\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\frac{-a}{3},\\ \frac{3}{B}&=\frac{3}{\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}}\leq\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{3}=\frac{b}{3}. \end{align*} De aquí se obtienen las desigualdades $aA\geq 9$ y $b\beta\geq 9$ (teniendo en cuenta que $-A\geq 0$ y $B\geq 0$).

Nota. La primera igualdad se alcanza cuando $\alpha=\beta=\gamma$, es decir, cuando los polinomios son cubos perfectos con raíces inversas, esto es, \[P(x)=x^3-3rx^2+3r^2x-r^3,\qquad Q(x)=x^3-\tfrac{3}{r}x^2+\tfrac{3}{r^2}x-\frac{1}{r^3},\] para cierto $r\gt 0$. La segunda igualdad se alcanza cuando $\alpha\beta=\beta\gamma=\gamma\alpha$, que claramente equivale a $\alpha=\beta=\gamma$.

Solución. Pongamos que las raíces del polinomio son $\alpha,\beta,\gamma$, luego podemos expresar \[p(x)=x^3+Bx^2+Cx+D=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).\] Desarrollando e igualando coeficientes, obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para este polinomio. Concretamente, tenemos que \[B=-(\alpha+\beta+\gamma),\quad C=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma,\quad D=\alpha\beta\gamma.\] Si imponemos la condición del enunciado de que $\alpha\beta=\gamma^2$, podemos entonces calcular \begin{align*} C^3=(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)^3&=(\gamma^2+\beta\gamma+\alpha\gamma)^3\\ &=\gamma^3(\alpha+\beta+\gamma)^3=-\alpha\beta\gamma B^3=DB^3. \end{align*}

Solución. Llamemos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces y escribamos $\alpha=\beta-d$ y $\gamma=\beta+d$ por estar en progresión aritmética. Desarrollando los paréntesis e igualando coeficientes en la igualdad \[x^3+2px^2-px+10=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\] obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para este polinomio: \[\alpha+\beta+\gamma=-2p,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-p,\quad \alpha\beta\gamma=-10.\] Esto se puede reescribir en términos de $\beta$ y $d$ como \[3\beta=-2p,\qquad 3\beta^2-d^2=-p,\qquad \beta(d^2-\beta^2)=10.\] Despejamos de la primera igualdad $\beta=\frac{-2}{3}p$ y sustituimos en la segunda para obtener $d^2=p+3\beta^2=p+\frac{4}{3}p^2$ y en la tercera para obtener $d^2=\beta^2+\frac{10}{\beta}=\frac{4}{9}p^2-\frac{15}{p}$. Igualando ambas expresiones, obtenemos la ecuación \[p+\frac{4}{3}p^2=\frac{4}{9}p^2-\frac{15}{p}\ \Longleftrightarrow\ 8 p^3+9 p^2+135=0.\] Esta ecuación tiene una sola solución real $p=-3$ (que se puede obtener por Ruffini), luego deducimos que esta es la única respuesta al problema. Tenemos entonces que $3\beta=-2p$ implica que $\beta=2$ y $d^2=p+\frac{4}{3}p^2$ que $d=\pm 3$. Esto nos da como raíces a $-1$, $2$ y $5$ (obviamente, no importa el signo que tomemos en $d$).