Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $\alpha,\beta,\gamma$ a las raíces de $P(x)$, con lo que las raíces de $Q(x)$ son $\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma}$. Desarrollando e igualando coeficientes en las identidades \begin{align*} P(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3+ax^2+bx+c,\\ Q(x)&=(x-\frac{1}{\alpha})(x-\frac{1}{\beta})(x-\frac{1}{\gamma})=x^3+Ax^2+Bx+C, \end{align*} obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para ambos polinomios: \begin{align*} a&=-\alpha-\beta-\gamma&A&=-\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\gamma},\\ b&=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&B&=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}. \end{align*} Ahora utilizamos la desigualdad entre las medias aritmética y armónica y el hecho de que $\alpha,\beta,\gamma\gt 0$ para estimar: \begin{align*} \frac{3}{-A}&=\frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}\leq\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\frac{-a}{3},\\ \frac{3}{B}&=\frac{3}{\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}}\leq\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{3}=\frac{b}{3}. \end{align*} De aquí se obtienen las desigualdades $aA\geq 9$ y $b\beta\geq 9$ (teniendo en cuenta que $-A\geq 0$ y $B\geq 0$).

Nota. La primera igualdad se alcanza cuando $\alpha=\beta=\gamma$, es decir, cuando los polinomios son cubos perfectos con raíces inversas, esto es, \[P(x)=x^3-3rx^2+3r^2x-r^3,\qquad Q(x)=x^3-\tfrac{3}{r}x^2+\tfrac{3}{r^2}x-\frac{1}{r^3},\] para cierto $r\gt 0$. La segunda igualdad se alcanza cuando $\alpha\beta=\beta\gamma=\gamma\alpha$, que claramente equivale a $\alpha=\beta=\gamma$.

Solución. Pongamos que las raíces del polinomio son $\alpha,\beta,\gamma$, luego podemos expresar \[p(x)=x^3+Bx^2+Cx+D=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).\] Desarrollando e igualando coeficientes, obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para este polinomio. Concretamente, tenemos que \[B=-(\alpha+\beta+\gamma),\quad C=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma,\quad D=\alpha\beta\gamma.\] Si imponemos la condición del enunciado de que $\alpha\beta=\gamma^2$, podemos entonces calcular \begin{align*} C^3=(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)^3&=(\gamma^2+\beta\gamma+\alpha\gamma)^3\\ &=\gamma^3(\alpha+\beta+\gamma)^3=-\alpha\beta\gamma B^3=DB^3. \end{align*}

Solución. Llamemos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces y escribamos $\alpha=\beta-d$ y $\gamma=\beta+d$ por estar en progresión aritmética. Desarrollando los paréntesis e igualando coeficientes en la igualdad \[x^3+2px^2-px+10=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\] obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para este polinomio: \[\alpha+\beta+\gamma=-2p,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-p,\quad \alpha\beta\gamma=-10.\] Esto se puede reescribir en términos de $\beta$ y $d$ como \[3\beta=-2p,\qquad 3\beta^2-d^2=-p,\qquad \beta(d^2-\beta^2)=10.\] Despejamos de la primera igualdad $\beta=\frac{-2}{3}p$ y sustituimos en la segunda para obtener $d^2=p+3\beta^2=p+\frac{4}{3}p^2$ y en la tercera para obtener $d^2=\beta^2+\frac{10}{\beta}=\frac{4}{9}p^2-\frac{15}{p}$. Igualando ambas expresiones, obtenemos la ecuación \[p+\frac{4}{3}p^2=\frac{4}{9}p^2-\frac{15}{p}\ \Longleftrightarrow\ 8 p^3+9 p^2+135=0.\] Esta ecuación tiene una sola solución real $p=-3$ (que se puede obtener por Ruffini), luego deducimos que esta es la única respuesta al problema. Tenemos entonces que $3\beta=-2p$ implica que $\beta=2$ y $d^2=p+\frac{4}{3}p^2$ que $d=\pm 3$. Esto nos da como raíces a $-1$, $2$ y $5$ (obviamente, no importa el signo que tomemos en $d$).

Solución. Escribamos las tres raíces como $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$. Desarrollando \[(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\] podemos identificar coeficientes para obtener las relaciones de Cardano-Vieta $a=-(\alpha+\beta+\gamma)$ y $b=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$. Con esto podemos calcular \begin{align*} a^2-3b&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha\\ &=\tfrac{1}{2}\left((\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2\right)\geq 0. \end{align*}

Solución. Si $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ tiene tres soluciones reales distintas, entonces su derivada debe anularse al menos dos veces por el teorema de Rolle (debe tener un máximo/mínimo entre cada par de raíces. Esto también es verdad si hay una raíz doble y otra simple ya que debe anularse entre ambas raíces y en la raíz doble. En el caso de tener una raíz triple, su derivada debe tener una raíz doble en dicho punto. Todo esto nos dice que la derivada $p'(x)=3x^2+2ax+b$ debe tener discriminante no negativo, pero dicho discriminante es $(2a)^2-4\cdot 3\cdot b=4(a^2-3b)$, de donde se deduce que debe ser $a^2\geq 3b$.

Solución. Pongamos que el polinomio es $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, ya que podemos suponer sin pérdida de generalidad que el coeficiente líder es $1$. Que sea tangente al eje de abscisas implica que debe tener una raíz doble $r$ y pongamos que $s$ es la tercera raíz (podría ser $r=s$ y tener una raíz triple). Entonces, igualando coeficientes en \[x^3+ax^2+bx+c=(x-r)^2(x-s)=x^3-(2r+s)x^2+(r^2+2rs)x-r^2s,\] deducimos que $2r+s=-a$, $r^2+2rs=b$ y $r^2s=-c$ son números racionales (estas son las ecuaciones de Cardano-Vièta). Buscando combinaciones de estos números que nos den expresiones simétricas y homogéneas de $r$ y $s$, encontramos sin mucho problema \[a^2-3b=r^2-2rs+s^2,\qquad 9c-ab=2r(r^2-2rs+s^2).\] Distinguimos dos casos:

• Si $a^2-3b\neq 0$, entonces obtenemos directamente que \[r=\frac{9c-ab}{2(a^2-3b)}\in\mathbb{Q},\qquad s=-a-2r=-\frac{a^3+9c-4ab}{a^2-3b}\in\mathbb{Q}.\]
• En caso contrario, tenemos que $0=a^2-3b=(2r+s)^2-3(r^2+2rs)=(r-s)^2$, luego se trata de un polinomio con una raíz triple, que también es racional ya que podemos escribir en este caso $r=s=\frac{-a}{3}\in\mathbb{Q}$.

Solución. Consideremos la derivada $f'(x)$, que es un polinomio de grado $2$ con coeficientes racionales. Que la gráfica sea tangente al eje de abscisas en algún punto nos dice que debe existir $\alpha\in\mathbb{R}$ tal que $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$ ($\alpha$ es una raíz doble o triple de $f(x)$). La división de $f(x)$ entre $f'(x)$ nos asegura que existen polinomios $q(x)$ y $r(x)$ con coeficientes racionales tales que $f(x)=q(x)f'(x)+r(x)$, luego evaluando en $x=\alpha$ obtenemos que $r(\alpha)=0$. Distingamos dos casos:

• Si $r(x)=ax+b$ es un polinomio de grado $1$ ($a\neq 0$), como tiene coeficientes racionales, podemos despejar $\alpha=\frac{-b}{a}\in\mathbb{Q}$. Ahora basta dividir $f(x)$ entre $(x-\alpha)^2$ para obtener otro polinomio $x-\beta$ que también debe tener coeficientes racionales, y claramente $\beta\in\mathbb{Q}$ es la tercera raíz de $f(x)$.
• Si $r(x)$ es de grado menor que $1$, entonces debe ser necesariamente $r(x)=0$ (ya que $r(\alpha)=0$). Entonces, $f(x)$ es divisible entre $f'(x)$. Como cualquier raíz común a $f(x)$ y $f'(x)$ tiene multiplicidad en $f(x)$ una unidad más que en $f'(x)$, se deduce que $f'(x)$ no puede tener dos raíces distintas, luego en este caso $\alpha$ es una raíz triple de $f(x)$. Si escribimos entonces $f(x)=a(x-\alpha)^3$ para cierto número racional $a\neq 0$, podemos despejar $\alpha$ como el coeficiente de $x^2$ de $f(x)$ dividido por $-3a$, luego la raíz triple $\alpha$ también es racional en este caso.