Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 2378
USAMO, 1984-P1
El producto de dos de las cuatro raíces de la ecuación
\[x^4-18x^3+kx^2+200x-1984=0\]
es $-32$. Hallar el valor de $k$.
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Problema 2374
USAMO, 1983-P2
Demostrar que las raíces de la ecuación
\[x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\]
no pueden ser todas reales si $2a^2\lt 5b$.
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Problema 2369
USAMO, 1982-P2
Sea $S_r=x^r+y^r+z^r$ con $x,y,z\in\mathbb{R}$. Si $S_1=0$, demostrar que
\[\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}\]
cuando $(m,n)$ es alguno de los pares $(2,3)$, $(3,2)$, $(2,5)$ o $(5,2)$. Determinar todos los pares $(m,n)$ para los que la relación anterior se cumple para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$ tales que $S_1=0$.
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Problema 2356
ASU, 1982-P21
- ¿Existen polinomios $p(x),q(x),r(x)$ tales que \[p(x-y+z)^3+q(y-z-1)^3+r(z-2x+1)^3=1\] para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$?
- ¿Existen polinomios $p(x),q(x),r(x)$ tales que \[p(x-y+z)^3+q(y-z-1)^3+r(z-x+1)^3=1\] para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$?
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Problema 2317
Hallar todas las raíces reales de la ecuación
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=0\,\]
sabiendo que son cuatro números reales distintos y que dos de ellos suman $2$.
pistasolución 1info
Pista. Con la información que nos dan, el polinomio se debe factorizar como
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=9(x^2+ax+b)(x^2-2x+c).\]
Solución. Agrupando las dos raíces que tienen suma dos, podemos factorizar el polinomio como
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=9(x^2+ax+b)(x^2-2x+c)\]
para ciertos números reales $a,b,c\in\mathbb{R}$. El coeficiente del término de grado $3$ del miembro de la derecha es $9(a-2)$ y tiene que coincidir con el de la derecha $-24$, luego obtenemos $a=\frac{-2}{3}$. Los coeficientes de grado $1$ y $2$ nos dan las ecuaciones $18b+6c=-58$ y $9b+9c=-35$, que tienen soluciones $b=\frac{-26}{9}$ y $c=-1$. Por lo tanto, nos queda la factorización
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=(9x^2-6x-26)(x^2-2x-1).\]
Igualando ambos factores a cero y resolviendo las ecuaciones cuadráticas obtenemos las cuatro raíces del polinomio original:
\[x_1=\tfrac{1}{3}+\sqrt{3},\qquad x_2=\tfrac{1}{3}-\sqrt{3},\qquad x_3=1+\sqrt{2},\qquad x_4=1-\sqrt{2}.\]
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