Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Haciendo \(x=y=0\), obtenemos que \(P(0)=P(0)^2\), de donde \(P(0)=1\) o bien \(P(0)=0\). Si \(P(0)=1\), haciendo \(x=y\) en la ecuación original, \(P(2y)=1\) para todo \(y\in\mathbb{R}\), de donde \(P(x)\) es el polinomio constante \(1\).

Si \(P(0)=0\), entonces cero es una raíz de \(P(x)\) y podemos expresar \(P(x)=x^kQ(x)\) para cierto \(k\in\mathbb{N}\) (la multiplicidad de dicha raíz) y cierto polinomio \(Q(x)\) con \(Q(x)\neq 0\). Sustituyendo esta igualdad en la ecuación del enunciado y simplificando, obtenemos que \(Q(x)\) satisface la misma ecuación que \(P(x)\) y, además, \(Q(0)\neq 0\). Por lo que hemos visto en el párrafo anterior, \(Q(x)\) tiene que ser constante \(1\) luego \(P(x)\) es una potencia de \(x\). Deducimos que los polinomios buscados son \(P(x)=1\) y \(P(x)=x^k\) para \(k\in\mathbb{N}\), los cuales cumplen la ecuación como puede comprobarse.

Solución. Supongamos que $P(x)$ cumple la propiedad del enunciado y lleguemos a una contradicción. Como $P(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, $a-b$ divide a $P(a)-P(b)=b-c$. De la misma forma, $b-c$ divide a $P(b)-P(c)=c-a$ y $c-a$ divide a $P(c)-P(a)=a-b$. Esto nos da la cadena de desigualdades \[|a-b|\leq|b-c|\leq|c-a|\leq|a-b|,\] de donde $|a-b|=|b-c|=|c-a|$. Si suponemos que $a\lt b\lt c$ sin perder generalidad, esto nos dice que $b-a=c-b=c-a$ y, claramente se deduce que $a=b=c$, lo cual es una contradicción.

Solución. Usaremos la propiedad de que si \(a\) y \(b\) son números enteros distintos, entonces \(b-a\) divide a \(P(b)-P(a)\). Aplicándosela a \(n\) y a \(21\), llegamos a que \(n-21\) divide a \(n+34=(n-21)+55\) luego \(n-21\) divide a \(55\). Esto nos lleva a que \(n-21\) ha de ser uno de los números \(\pm 1\), \(\pm 5\), \(\pm 11\) ó \(\pm 55\), esto es, \(n\) tiene que ser uno de los números \(-34\), \(10\), \(16\), \(20\), \(22\), \(26\), \(32\) ó \(76\). Ahora bien, aplicando la propiedad ahora a \(n\) y \(37\), obtenemos de la misma forma que \(n-37\) divide a \(55\). De las ocho posibilidades anteriores, sólo \(n=32\) y \(n=26\) cumplen esta última relación y \(n=32\) no puede ser el número buscado ya que \(P(32)=-247\neq 32+51\) luego la única posibilidad es \(n=26\) tal y como se pretendía demostrar.

Solución. Llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las raíces del polinomio y supongamos que \(\alpha\lt\beta\lt\gamma\), luego \(\frac{1}{\alpha}\gt\frac{1}{\beta}\gt\frac{1}{\gamma}\). Que estén en progresión geométrica nos dice que \(\alpha\gamma=\beta^2\) y, que sus inversos estén en progresión aritmética nos dice que \(\frac{\alpha+\gamma}{\alpha\gamma}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\gamma}=\frac{2}{\beta}\). Usando la condición \(\alpha\gamma=\beta^2\), llegamos a que \(\alpha+\gamma=2\beta\), es decir, las raíces también están en progresión aritmética. En particular, la media aritmética y geométrica de \(\alpha\) y \(\gamma\) coinciden (son iguales a \(\beta\)) luego, por la desigualdad de las medias, \(\alpha=\beta=\gamma\). En consecuencia, \(b=-(\alpha-\beta-\gamma)=-3\alpha\) y \[x^3+bx^2+cx+d=(x-\alpha)^3=\left(x+\frac{b}{3}\right)^3=x^3+bx^2+\frac{b^2}{3}x+\frac{b^3}{27}\] y de aquí que \(c=\frac{b^2}{3}\) y \(d=\frac{b^3}{27}\).

Nota. Si no se nos ocurre el truco de las medias, otra forma de resolver el problema consiste en, una vez llegados a que \(\alpha+\gamma=2\beta\), plantear las ecuaciones de Cardano y despejar en función de \(\beta\).

Solución. Supongamos que las raíces del polinomio son \(\alpha-d\), \(\alpha\) y \(\alpha +d\), ya que están en progresión aritmética. Entonces, las ecuaciones de Cardano para este polinomio se escriben como \(3\alpha=-2c\), \(3\alpha^2-d^2=-c\) y \(\alpha^3-\alpha d^2=-10\). Nos quedamos ahora con que de la primera se puede despejar \(c=\frac{-3\alpha}{2}\) y sustituimos este valor en la ecuación del enunciado. Como \(\alpha\) es una raíz suya, tiene que cumplir \(P(\alpha)=0\). Sustituyendo \(\alpha\) y simplificando, llegamos que ha de cumplir que \[4\alpha^3-3\alpha^2-20=0\] es decir, \(\alpha\) es solución de \(4x^3-3x^2-20=0\). Esta ecuación tiene a \(x=2\) como solución real y otras dos soluciones complejas. Por tanto, \(\alpha=2\) y, de la tercera ecuación de Cardano, \(8-2d^2=-10\) luego \(d=\pm 3\). Deducimos que las raíces del polinomio son \(-1\), \(2\) y \(5\) y que \(c=-3\).