Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión infinita de números reales positivos que cumplen que $\sum_{j=1}^na_j\geq\sqrt{n}$ para todo $n\geq 1$. Demostrar que, para todo $n\geq 1$, se tiene que \[\sum_{j=1}^na_j^2\gt\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right).\]

Sean $\{a_0,a_1,a_2,\ldots\}$ una sucesión infinita de números reales positivos verificando que $a_{n-1}a_{n+1}\leq a_n^2$ para todo $n\geq 1$ (una sucesión de este tipo se dice que es log-cóncava). Demostrar que, para todo $n\gt 1$ se cumple que \[\frac{a_0+\ldots+a_n}{n+1}\frac{a_1+\ldots+a_{n-1}}{n-1}\geq \frac{a_0+\ldots+a_{n-1}}{n}\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}.\]

Para cada entero $n\geq 2$, determinar razonadamente cuál de los dos números reales positivos $a$ y $b$ es el mayor sabiendo que verifican \[a^n=a+1,\qquad b^{2n}=b+3a.\]

Dados $m$ y $n$ enteros positivos, consideremos el número \[a=\frac{m^{m+1}+n^{n+1}}{m^m+n^n}.\] Demostrar que $a^m+a^n\geq m^m+n^n$.

Nota: puede ser interesante analizar la razón $\frac{a^N-N^N}{a-N}$ para $a\geq 0$ real y $N\geq 1$ entero.

Sea $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ una sucesión no decreciente de enteros positivos. Para cada $m\geq 1$, definimos $b_m=\min\{n:a_n\geq m\}$, es decir, $b_m$ es el valor mínimo de $n$ tal que $a_n\geq m$. Si $a_{19}=85$, determinar el máximo valor posible de \[a_1+a_2+\ldots+a_{19}+b_1+b_2+\ldots+b_{19}.\]