Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos la siguiente desigualdad válida para todo $n\in\mathbb{N}$: \[\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\lt\frac{1}{2\sqrt{n}}\lt\sqrt{n}-\sqrt{n-1}.\qquad(\star)\] Para demostrarla, multiplicamos y dividimos por las expresiones conjugadas para obtener diferencias de cuadrados y eliminar las raíces, es decir, \[\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\lt\frac{1}{2\sqrt{n}},\] y análogamente \[\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\gt\frac{1}{2\sqrt{n}}.\]

Ahora sumando la desigualdad $(\star)$ para $2\leq n\leq N$ (el término $n=1$ ya es entero y estimarlo superior e inferiormente nos resta precisión), obtenemos \[\sum_{n=2}^N(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\lt \frac{1}{2}\sum_{n=2}^N\frac{1}{\sqrt{n}}\lt \sum_{n=2}^N(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}).\] Se trata de sumas telescópicas en las que los términos se van eliminando dos a dos salvo el primero y el último, luego la expresión anterior resulta en \[\sqrt{N+1}-\sqrt{2}\lt \frac{1}{2}\sum_{n=2}^N\frac{1}{\sqrt{n}}\lt \sqrt{N}-1.\] Si llamamos $S$ a la suma del enunciado, esto se traduce finalmente en \[2(\sqrt{N}-1)\lt 1+2(\sqrt{N+1}-\sqrt{2})\lt S\lt 1+2(\sqrt{N}-1),\] donde la primera desigualdad es una acotación más sencilla de la segunda. Ahora está claro que $N=1014^2$ es un número que cumple las condiciones del enunciado.

Nota. Lo difícil de este problema es cómo traducir la suma del enunciado en telescópica, porque nos hemos sacado de la manga la desigualdad inicial. Si sabemos un poco de cálculo, hay dos herramientas que nos pueden ayudar, si consideramos la función diferenciable $f(x)=\sqrt{x}$ cuya derivada $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ está relacionada con la suma del enunciado.

• Una opción es que, como $f'(x)$ es decreciente, se tiene que \[f(x+1)-f(x)=\int_{x}^{x+1}f'(x)\,\mathrm{d}x\leq f'(x)\leq\int_{x-1}^xf'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)-f(x-1).\] Este es un truco para transformar series en telescópicas cuando el término general es la derivada (creciente o decreciente) de otra función. La desigualdad anterior nos da directamente la de partida del enunciado.
• Otra opción es usar el teorema del valor medio, que nos dice que \[f(x)-f(x-1)=f'(c_x)(x-(x-1))=f'(c_x)\] para cierto punto $x-1\lt c_x\lt x$. Como $f'(x)$ es estrictamente decreciente, se tiene que $f'(x)\lt f'(c_x)\lt f'(x-1)$. Estas acotaciones equivalen a las desigualdades integrales y también nos llevan a la desigualdad inicial de la solución propuesta.

Solución. Usando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los números $1+x_1,1+x_2,\ldots,1+x_n$, obtenemos que \[\frac{2026}{\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}}\leq \frac{(1+x_1)+(1+x_2)+\ldots+(1+x_{2026})}{2026}=2,\] de donde deducimos que \[\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}\geq\frac{2026}{2}=1013.\] La igualdad se únicamente alcanza cuando todos los números son iguales, luego el mínimo de la expresión del enunciado es $1013$.

Veamos ahora que su máximo se alcanza cuando todos los números son cero salvo únicamente uno de ellos. En efecto, si hay dos números que son distintos de $0$, pongamos que $x_i,x_j>0$, entonces \[\frac{1}{1+x_i}+\frac{1}{1+x_j}=\frac{2+x_i+x_j}{1+x_i+x_j+x_ix_j}>\frac{2+x_i+x_j}{1+x_i+x_j}=\frac{1}{1+x_i+x_j}+\frac{1}{1+0}.\] Esto nos dice que podemos cambiar $x_i$ por $x_i+x_j$ y $x_j$ por $0$ para obtener una suma mayor (manteniendo la suma de los $2026$ números). Podemos repetir este proceso para hacer que todos los números sean $0$ salvo uno de ellos, que debe ser igual a $2026$. Por lo tanto, el máximo nos lo da la desigualdad \[\frac{1}{1+x_1}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}\leq\frac{1}{1+0}+\ldots+\frac{1}{1+0}+\frac{1}{1+2026}=2025+\frac{1}{2027}.\]

Nota. El máximo también puede obtenerse usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la de Jensen (aplicada a la función $f(t)=\frac{1}{1+t}$, que es convexa para $t\gt -1$).

Solución. Como $\operatorname{sen}(x)\lt x$ para todo $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ y el coseno es una función decreciente, tenemos la cadena de desigualdades \[\operatorname{sen}(\cos(x))\lt\cos(x)\lt\cos(\operatorname{sen}(x)).\] Por tanto, los puntos en que estas funciones cortan a la recta $y=x$ estarán en el mismo orden que las funciones, es decir, $b\lt a\lt c$ (en la imagen puede verse una representación gráfica de las tres funciones y la recta).