Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Usando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los números $1+x_1,1+x_2,\ldots,1+x_n$, obtenemos que \[\frac{2026}{\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}}\leq \frac{(1+x_1)+(1+x_2)+\ldots+(1+x_{2026})}{2026}=2,\] de donde deducimos que \[\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}\geq\frac{2026}{2}=1013.\] La igualdad se únicamente alcanza cuando todos los números son iguales, luego el mínimo de la expresión del enunciado es $1013$.

Veamos ahora que su máximo se alcanza cuando todos los números son cero salvo únicamente uno de ellos. En efecto, si hay dos números que son distintos de $0$, pongamos que $x_i,x_j>0$, entonces \[\frac{1}{1+x_i}+\frac{1}{1+x_j}=\frac{2+x_i+x_j}{1+x_i+x_j+x_ix_j}>\frac{2+x_i+x_j}{1+x_i+x_j}=\frac{1}{1+x_i+x_j}+\frac{1}{1+0}.\] Esto nos dice que podemos cambiar $x_i$ por $x_i+x_j$ y $x_j$ por $0$ para obtener una suma mayor (manteniendo la suma de los $2026$ números). Podemos repetir este proceso para hacer que todos los números sean $0$ salvo uno de ellos, que debe ser igual a $2026$. Por lo tanto, el máximo nos lo da la desigualdad \[\frac{1}{1+x_1}+\cdots+\frac{1}{1+x_{2026}}\leq\frac{1}{1+0}+\ldots+\frac{1}{1+0}+\frac{1}{1+2026}=2025+\frac{1}{2027}.\]

Nota. El máximo también puede obtenerse usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la de Jensen (aplicada a la función $f(t)=\frac{1}{1+t}$, que es convexa para $t\gt -1$).

Solución. Como $\operatorname{sen}(x)\lt x$ para todo $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ y el coseno es una función decreciente, tenemos la cadena de desigualdades \[\operatorname{sen}(\cos(x))\lt\cos(x)\lt\cos(\operatorname{sen}(x)).\] Por tanto, los puntos en que estas funciones cortan a la recta $y=x$ estarán en el mismo orden que las funciones, es decir, $b\lt a\lt c$ (en la imagen puede verse una representación gráfica de las tres funciones y la recta).

Solución. Si pasamos todo al miembro de la izquierda y operamos, llegamos a la desigualdad equivalente $a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2\geq 0$, que no es otra cosa que \[(a-2b+c)^2\geq 0.\] Escrita de esta forma la desigualdad es evidente ya que cualquier número al cuadrado es mayor o igual que cero. Además, la igualdad se cumple si y sólo si $a-2b+c=0$, es decir, si $b$ es la media aritmética de $a$ y $c$.