Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ac=1$. Demostrar que \[\frac{a^3}{a^2+3b^2+3ab+2bc}+\frac{b^3}{b^2+3c^2+3bc+2ca}+\frac{c^3}{c^2+3a^2+3ca+2ab}\gt\frac{1}{6(a^2+b^2+c^2)^2}.\]

Un punto $P$ se encuentra en el ángulo determinado por las semirrectas $OA$ y $OB$ con vértice en $O$. Encontrar dos puntos, $Q$ en $OA$ y $R$ en $OB$, que estén alineados con $P$ y para los que \[\frac{1}{PQ}+\frac{1}{PR}\] toma su valor máximo.

Se tienen cinco números reales $a,b,c,d,e$ tales que \[\left.\begin{array}{r} a+b+c+d+e=18\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 \end{array}\right\}\] Hallar el máximo valor posible de $e$.

Si $a,b,c,d,e$ son cinco números positivos que se encuentran entre dos números positivos $p$ y $q$, probar que \[(a+b+c+d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)\leq 25+6\left(\sqrt{\frac{p}{q}}-\sqrt{\frac{q}{p}}\right)^2\] y determinar en qué casos se tiene la igualdad.

Determinar el máximo volumen de un triedro trirrectángulo $OABC$ (es decir, una pirámide triangular tal que $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ$) en función de la suma $S$ de sus seis aristas.