Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar razonadamente el mayor número que es producto de enteros positivos cuya suma es $1976$.

Encontrar todos los números reales $a$ para los que existen números reales no negativos $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ satisfaciendo las relaciones \[\sum_{k=1}^5kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3.\]

Sea $\{a_k\}$ una sucesión de enteros positivos distintos. Demostrar que \[\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\geq \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\] para todo entero positivo $n$.

Dados cuatro números reales $a,b,A,B$, consideramos la función \[f(\theta)=1-a\cos(\theta)-b\,\mathrm{sen}(\theta)-A\cos(2\theta)-B\,\mathrm{sen}(2\theta).\] Demostrar que si $f(\theta)\geq 0$ para todo número real $\theta$, entonces $a^2+b^2\leq 2$ y $A^2+B^2\leq 1$.

Sean $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ números reales tales que \[x_1\geq x_2\geq\ldots\geq x_n,\qquad y_1\geq y_2\geq\ldots\geq y_n.\] Demostrar que si $z_1,z_2,\ldots,z_n$ es una permutación de $y_1,y_2,\ldots,y_n$, entonces \[\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leq\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2.\]