Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ números reales tales que \[x_1\geq x_2\geq\ldots\geq x_n,\qquad y_1\geq y_2\geq\ldots\geq y_n.\] Demostrar que si $z_1,z_2,\ldots,z_n$ es una permutación de $y_1,y_2,\ldots,y_n$, entonces \[\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leq\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2.\]

Determinar todos los posibles valores de \[\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d},\] siendo $a,b,c,d$ números reales positivos cualesquiera.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $q$ un número real tal que $0\lt q\lt 1$. Encontrar números reales $b_1,b_2,\ldots,b_n$ cumpliendo simultáneamente las siguientes tres condiciones:

• $a_k\lt b_k$ para $k=1,2,\ldots,n$,
• $q\lt\frac{b_{k+1}}{b_k}\lt\frac{1}{q}$ para $k=1,2,\ldots,n-1$,
• $b_1+b_2+\ldots+b_n\lt\frac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\ldots+a_n)$.

Encontrar todas las soluciones $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ del sistema de inecuaciones \[\left.\begin{array}{r} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\leq 0 \end{array}\right\},\] donde además supondremos que $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ son todos reales positivos.

Demostrar que la siguiente afirmación es cierta para $n=3$ y $n=5$ pero es falsa para cualquier otro entero $n\gt 2$:

Si $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números reales arbitrarios, entonces \begin{align*} &(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)\\ &\quad +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)\\ &\quad +\ldots+(a_n-a_1)(a_n-a_3)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0. \end{align*}