Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio. Demostrar que \[AC^2+BD^2+AD^2+BC^2\geq AB^2+CD^2.\]

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\ldots+x_n)\Bigl(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\Bigr)}\] es entero para todo $n=1,2,\ldots,2023$. Demostrar que $a_{2023}\geq 3034$.

Probar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}\] se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$.

Los números reales $a,b,c,d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$. Demostrar que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\lt 1.\]

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales positivos tales que $a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n$. Probar que \[\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\ldots+\frac{a_1^2}{a_1+b_1}\geq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{2}.\]