Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $$S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{1993006}},$$ donde los denominadores contienen sumas parciales de la sucesión de los recíprocos de los números triangulares (es decir, $k = n(n+1)/2$ para $n = 1,2,\dots,1996$). Demostrar que $S\gt 1001$.

Sean \(a, b, c\) las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que $$\sqrt{a + b - c} + \sqrt{b + c - a} + \sqrt{c + a - b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c},$$ y determinar cuándo se da la igualdad.

Sean \(m\) y \(n\) enteros positivos tales que \(n \leq m\). Probar que $$2^{n} n! \leq \frac{(m + n)!}{(m - n)!} \leq (m^2 + m)^n.$$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ número reales positivos tales que \[a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n.\] Demostrar que \[\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{2}.\]

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ factores escogidos de entre $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n\] para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$.