Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que \[\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\geq 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right).\]

Sea $$S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{1993006}},$$ donde los denominadores contienen sumas parciales de la sucesión de los recíprocos de los números triangulares (es decir, $k = n(n+1)/2$ para $n = 1,2,\dots,1996$). Demostrar que $S\gt 1001$.

Sean \(a, b, c\) las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que $$\sqrt{a + b - c} + \sqrt{b + c - a} + \sqrt{c + a - b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c},$$ y determinar cuándo se da la igualdad.

Sean \(m\) y \(n\) enteros positivos tales que \(n \leq m\). Probar que $$2^{n} n! \leq \frac{(m + n)!}{(m - n)!} \leq (m^2 + m)^n.$$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ número reales positivos tales que \[a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n.\] Demostrar que \[\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{2}.\]