Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a,b,c,d,e$ números reales positivos. Demostrar que \[(a+b+c+d+e)^2\geq 4(ab+bc+cd+de+ea).\]

Un triángulo de área $1$ tiene lados $a\leq b\leq c$. Demostrar que $b^2\geq 2$.

Consideremos el polinomio $p(x)=ax^2+bx+c$ con coeficientes reales y supongamos que $|p(x)|\leq 1$ siempre que $|x|\leq 1$. Demostrar que la desigualdad $|cx^2+bx+a|\leq 1$ también es cierta cuando $|x|\leq 1$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ reales positivos cuya suma es $1$ y definimos \[s=\max\left\{\frac{x_1}{1+x_1},\frac{x_2}{1+x_1+x_2},\ldots,\frac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}\right\}.\] Determinar el menor valor que puede tomar $s$ y hallar los valores de los números que realizan dicho mínimo.

Para cualesquiera números reales positivos $x$ e $y$, definimos $f(x,y)$ como el menor de los números $x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}$. Determinar el máximo valor que puede tomar $f(x,y)$ y cuáles son los valores de $x$ e $y$ que realizan dicho máximo.