Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos todos los triángulos $ABC$ que tienen la base $AB$ fija y cuya altura sobre esta base es una constante $h$. Determinar para cuál de tales triángulos el producto de sus alturas es máximo.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ de ellos. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n,\] para todo entero $k$ entre $1$ y $n-1$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos y sea $S=x_1+x_2+\ldots+x_n$ su suma. Demostrar que \[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq 1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\ldots+\frac{S^n}{n!}.\]

Hallar todos los números reales $0\leq x\leq 2\pi$ que verifican las desigualdades \[2\cos(x)\leq\left|\sqrt{1+\mathrm{sen}(2x)}-\sqrt{1-\mathrm{sen}(2x)}\right|\leq\sqrt{2}.\]