Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ las raíces de la ecuación. Para que sean las longitudes de los lados de un triángulo, la suma de dos de ellas debe ser mayor que la tercera, lo que nos da la relación \[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0.\qquad (\star)\] Observamos además que si se cumple esto no pueden ser dos sumandos negativos y otro positivo ya que, si $\alpha+\beta\lt \gamma$ y $\beta+\gamma\lt\alpha$, entonces sumamos ambas desigualdades y llegamos a que $2\beta\lt 0$, pero estamos suponiendo que las tres raíces son positivas.

Ahora bien, si desarrollamos la igualdad \[x^3+px^2+qx+r=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\] obtenemos rápidamente las ecuaciones de Cardano-Vièta identificando coeficientes: \[\alpha+\beta+\gamma=-p,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q,\qquad \alpha\beta\gamma=-r.\] Por lo tanto, la desigualdad $(\star)$ se puede reescribir como \begin{align*} 0&\lt (-p-2\alpha)(-p-2\beta)(-p-2\gamma)\\ &=-p^3-2(\alpha+\beta+\gamma)p^2-4(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)p-8\alpha\beta\gamma\\ &=-p^3+2p^3-4qp+8r=p^3-4qp+8r. \end{align*} Deducimos así que la relación que nos piden es $4pq\lt p^3+8r$.

Solución. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \begin{align*} u&=\left(\binom{n}{1}^{1/2},\binom{n}{2}^{1/2},\ldots,\binom{n}{n}^{1/2}\right),\\ v&=(1,2,\ldots,n), \end{align*} tenemos que \begin{align*} 1\cdot\sqrt{\binom{n}{1}}+2\cdot\sqrt{\binom{n}{2}}+\ldots+n\cdot\sqrt{\binom{n}{n}}&\leq\sqrt{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}}\sqrt{1^2+2^2+\ldots+n^2}\\ &=\sqrt{2^n-1}\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\ &\lt\sqrt{2^n}\sqrt{\frac{2n^3}{6}}\lt \sqrt{2^n}\sqrt{\frac{n^3}{2}}=\sqrt{2^{n-1}n^3}, \end{align*} donde hemos usado la fórmula para la suma de los $n$ primeros cuadrados y también que los elementos de la fila $n$-ésima del triángulo de Tartaglia suman $2^n$.

Nota. La desigualdad de Cauchy-Schwarz sobre dos vectores $u,v\in\mathbb{R}^n$ nos dice que \[|u_1v_1+u_2v_2+\ldots+u_nv_n|\leq (u_1^2+u_2^2+\ldots+u_n^2)^{1/2}(v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2)^{1/2}\] y la igualdad se alcanza si y sólo si los vectores son proporcionales.