Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Se trata de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica ya que se cumple que \[\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\] para cualesquiera $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$. Si su producto es $1$, entonces su suma será mayor o igual que $n$.

Nota. Si no se quiere usar directamente la desigualdad, se puede adaptar a este caso concreto cualquiera de sus demostraciones.

Solución. Consideremos el polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^3+10x^2$, que tiene derivada $f'(x)=x^3-30x^2+20x$. Esta derivada se anula en $x=0$ y en $x=15\pm\sqrt{205}$. Además, se cumple que $14\lt \sqrt{205}\lt 15$, luego se sigue fácilmente que $f(x)$ crece en $(0,15-\sqrt{205})\cup(15+\sqrt{205},+\infty)$ y decrece en $(-\infty,0)\cup(15-\sqrt{205},15+\sqrt{205})$. Por lo tanto, $a_{29}$ es menor que $a_1,a_2,\ldots,a_{28}$ y $a_{30}$ es menor que $a_{31},a_{32},\ldots$. De esta forma únicamente $n=0$, $n=29$ y $n=30$ son los candidatos a mínimo de la sucesión. Podemos evaluar fácilmente \[a_0=0,\qquad a_{29}=-58659.8,\qquad a_{30}=-58500,\] luego el mínimo absoluto de la sucesión es $a_{29}=-58659,\!8$.

Solución. Las longitudes de los lados son $a=BC=4$, $b=AC=3$ y $c=AB=5$, luego se trata de un triángulo rectángulo de hipotenusa $c$. Dado un punto $P$ sobre uno de los lados del triángulo tenemos tres casos:

• Si $P$ está en $AB$ (la hipotenusa), se tiene que $AP+BP+CP=5+CP$, luego el máximo y el mínimo corresponden a la distancia máxima y mínima $CP$. Claramente el máximo se produce si $P=B$ (con $CP=4$) y el mínimo cuando $AP$ es la altura del triángulo (con $CP=\frac{12}{5}$). En resumen, si $P$ está en $AB$, la suma de distancias oscila entre $\frac{37}{5}$ y $9$.
• Si $P$ está en $BC$ (un cateto), $AP+BP+CP=4+AP$. El máximo de $AP$ se produce cuando $P=B$ y el mínimo cuando $P=C$ (porque $C$ es el pie de la altura desde $A$), luego la suma oscila entre $7$ y $9$.
• Si $P$ está en $CA$ (el otro cateto), por el mismo razonamiento, la suma $AP+BP+CP$ oscilará entre $7$ y $8$.

Uniendo los tres casos, obtenemos que el valor mínimo que nos piden es $7$ (se alcanza únicamente cuando $P=C$) y el valor máximo es $9$ (se alcanza únicamente cuando $P=B$).