Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 1526
ASU, 1970-P2
El producto de tres números positivos es igual a $1$ y su suma es mayor que la suma de sus inversos. Demostrar que solo uno de los números es mayor que $1$.
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Problema 1524
IMO, 1970-P5
En un tetraedro $ABCD$ el ángulo $BDC$ es recto. Supongamos que el punto $H$ pie de la perpendicular desde $D$ al plano $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$. Demostrar que
\[(AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2).\]
¿Para qué tetraedros se alcanza la igualdad en la desigualdad anterior?
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Problema 1507
Demostrar que en todo triángulo de lados $a,b,c$ y ángulos opuestos $A,B,C$ medidos en radianes, se cumple que
\[\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq\frac{\pi}{3}.\]
Indicación. Utilizar que si $a\geq b\geq c$, entonces $A\geq B\geq C$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad de reordenación.
Solución. Como se dice en la indicación, si los lados están ordenados $a\geq b\geq c$, entonces los ángulos opuestos cumplen $A\geq B\geq C$ (esto es una consecuencia casi directa del teorema del seno). Entonces, la desigualdad de reordenación nos dice que
\begin{align*}
aA+bB+cC\geq bA+cB+aC,\\
aA+bB+cC\geq cA+aB+bC,\\
aA+bB+cC\geq aA+bB+cC.
\end{align*}
La última es trivial, pero sumando las tres desigualdades llegamos a que
\[3(aA+bB+cC)\geq (a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)\pi,\]
de donde se sigue la desigualdad del enunciado.
Nota. La igualdad en la desigualdad de reordenación se da cuando los números permutados son iguales. Así, deducimos sin mucha dificultad que la igualdad en la desigualdad del enunciado se alcanza cuando $a=b=c$ y $A=B=C$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.
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Problema 1504
ASU, 1969-P13
Un polígono regular de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Sea $h_n$ la distancia desde el centro de la circunferencia al punto medio de un lado. Demostrar que
\[(n+1)h_{n+1}-nh_n\gt R.\]
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Problema 1496
ASU, 1969-P4
Dados cuatro números positivos $a, b, c, d$, probar que alguna de las siguientes desigualdades no se cumple:
\[a + b \lt c + d,\qquad (a + b)(c + d)\lt ab + cd,\qquad (a + b)cd \lt ab(c + d).\]
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