Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1558problema obsoleto
OME Nacional, 1973-P1
Dada la sucesión $\{a_n\}$ definida por \[a_n=\tfrac{1}{4}n^4-10n^2(n-1),\qquad n\geq 0,\] determinar el término menor de la sucesión.
pistasolución 1info
Pista. Estudia la monotonía del polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^2(x-1)$.
Solución. Consideremos el polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^3+10x^2$, que tiene derivada $f'(x)=x^3-30x^2+20x$. Esta derivada se anula en $x=0$ y en $x=15\pm\sqrt{205}$. Además, se cumple que $14\lt \sqrt{205}\lt 15$, luego se sigue fácilmente que $f(x)$ crece en $(0,15-\sqrt{205})\cup(15+\sqrt{205},+\infty)$ y decrece en $(-\infty,0)\cup(15-\sqrt{205},15+\sqrt{205})$. Por lo tanto, $a_{29}$ es menor que $a_1,a_2,\ldots,a_{28}$ y $a_{30}$ es menor que $a_{31},a_{32},\ldots$. De esta forma únicamente $n=0$, $n=29$ y $n=30$ son los candidatos a mínimo de la sucesión. Podemos evaluar fácilmente \[a_0=0,\qquad a_{29}=-58659.8,\qquad a_{30}=-58500,\] luego el mínimo absoluto de la sucesión es $a_{29}=-58659,\!8$.
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Problema 1554problema obsoleto
OME Nacional, 1972-P2
Un punto se mueve sobre los lados el triángulo $ABC$, cuyos vértices tienen coordenadas $A=(-1.8,0)$, $B=(3.2,0)$ y $C=(0,2.4)$. Determinar las posiciones de dicho punto en las que la suma de sus distancias a los tres vértices es máxima o mínima.
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Problema 1551
ASU, 1971-P14
  1. Dada la función $f(x,y)=x^2+xy+y^2$, probar que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$ existen enteros $m$ y $n$ tales que $f(x-m,y-n)\leq\frac{1}{3}$.
  2. Si ahora tomamos la función $f(x,y)=x^2+axy+y^2$ con $0\leq a\leq 2$, ¿cuál es la menor constante $c$ tal que podemos asegurar que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ existen $m,n\in\mathbb{Z}$ tales que $f(x-m,y-n)\leq c$?
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Problema 1526
ASU, 1970-P2
El producto de tres números positivos es igual a $1$ y su suma es mayor que la suma de sus inversos. Demostrar que solo uno de los números es mayor que $1$.
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Problema 1524
IMO, 1970-P5
En un tetraedro $ABCD$ el ángulo $BDC$ es recto. Supongamos que el punto $H$ pie de la perpendicular desde $D$ al plano $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$. Demostrar que \[(AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2).\] ¿Para qué tetraedros se alcanza la igualdad en la desigualdad anterior?
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