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Problema 1507
Demostrar que en todo triángulo de lados $a,b,c$ y ángulos opuestos $A,B,C$ medidos en radianes, se cumple que
\[\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq\frac{\pi}{3}.\]
Indicación. Utilizar que si $a\geq b\geq c$, entonces $A\geq B\geq C$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad de reordenación.
Solución. Como se dice en la indicación, si los lados están ordenados $a\geq b\geq c$, entonces los ángulos opuestos cumplen $A\geq B\geq C$ (esto es una consecuencia casi directa del teorema del seno). Entonces, la desigualdad de reordenación nos dice que
\begin{align*}
aA+bB+cC\geq bA+cB+aC,\\
aA+bB+cC\geq cA+aB+bC,\\
aA+bB+cC\geq aA+bB+cC.
\end{align*}
La última es trivial, pero sumando las tres desigualdades llegamos a que
\[3(aA+bB+cC)\geq (a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)\pi,\]
de donde se sigue la desigualdad del enunciado.
Nota. La igualdad en la desigualdad de reordenación se da cuando los números permutados son iguales. Así, deducimos sin mucha dificultad que la igualdad en la desigualdad del enunciado se alcanza cuando $a=b=c$ y $A=B=C$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.
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Problema 1504
ASU, 1969-P13
Un polígono regular de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Sea $h_n$ la distancia desde el centro de la circunferencia al punto medio de un lado. Demostrar que
\[(n+1)h_{n+1}-nh_n\gt R.\]
Sin pistas
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Problema 1496
ASU, 1969-P4
Dados cuatro números positivos $a, b, c, d$, probar que alguna de las siguientes desigualdades no se cumple:
\[a + b \lt c + d,\qquad (a + b)(c + d)\lt ab + cd,\qquad (a + b)cd \lt ab(c + d).\]
Sin pistas
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Problema 1492
IMO, 1969-P6
Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ con $x_1\gt 0$, $x_2\gt 0$ y $x_2y_2-z_2^2\gt 0$, se cumple la desigualdad
\[\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2}.\]
Dar condiciones necesarias y suficientes para que se alcance la igualdad.
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Problema 1477
ASU, 1968-P7
Se define una sucesión $a_n$ como $a_1=1$ y $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ para todo $n\geq 1$. Demostrar que $a_{100}\gt 14$.
Sin pistas
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