Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados cuatro números positivos $a, b, c, d$, probar que alguna de las siguientes desigualdades no se cumple: \[a + b \lt c + d,\qquad (a + b)(c + d)\lt ab + cd,\qquad (a + b)cd \lt ab(c + d).\]

Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ con $x_1\gt 0$, $x_2\gt 0$ y $x_2y_2-z_2^2\gt 0$, se cumple la desigualdad \[\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2}.\] Dar condiciones necesarias y suficientes para que se alcance la igualdad.

Se define una sucesión $a_n$ como $a_1=1$ y $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ para todo $n\geq 1$. Demostrar que $a_{100}\gt 14$.

Los números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$ cumplen que $a_1=0$ y $|a_i|=|a_{i-1}+1|$ para $1\leq i\leq n$. Demostrar que \[\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq\frac{-1}{2}.\]

Sean $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ y $\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$ permutaciones de los números $\{1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}\}$. Si se cumple que \[a_1+b_1\geq a_2+b_2\geq\ldots\geq a_n+b_n,\] demostrar que $a_m+a_n\geq\frac{4}{m}$ para todo $m$.