Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Usando que $abc=1$ y la hipótesis de que la suma de los números es mayor que la de la suma de sus recíprocos (inversos multiplicativos), podemos escribir \begin{align*} 0&\lt a+b+c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\\ &=\frac{a^2b+ab^2+1-b-a-a^2b^2}{ab}=\frac{(a-1)(b-1)(1-ab)}{ab}\\ &=(a-1)(b-1)(\tfrac{1}{ab}-1)=(a-1)(b-1)(c-1). \end{align*} Esta desigualdad estricta nos dice que ninguno de los números puede ser igual a $1$. Para que el producto de los signos en $(a-1)(b-1)(c-1)$ sea positivo, exactamente uno de los tres números debe ser mayor que $1$ (si los tres números son mayores que $1$, entonces el producto también sería positivo pero tendríamos $abc\gt 1$, en contra de lo que nos dice el enunciado).

Solución. Llamemos $x,y,z$ a los denominadores, de forma que \[\left\{\begin{array}3 a + 3 b + 2 c=x\\3 a + 2 b + 3 c=y\\2 a + 3 b + 3 c=z\end{array}\right.\] Este sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado y nos da la solución \[\left\{\begin{array}a=\frac{3x+3y-5z}{8}\\b=\frac{3x-5y+3z}{8}\\c=\frac{-5x+3y+3z}{8}\end{array}\right.\] lo que nos lleva a que los numeradores se transforman en \[a+b+3c=\frac{-9x+7y+7z}{8},\qquad a+3b+c=\frac{7x-9y+7z}{8},\qquad a+b+3c=\frac{7x+7y-9z}{8}.\] Por lo tanto, el miembro de la izquierda de la desigualdad original se reescribe como \begin{align*}\frac{-9x+7y+7z}{8x}&+\frac{7x-9y+7z}{8y}+\frac{7x+7y-9z}{8z} &=\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\\ \geq\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}(2+2+2)=\frac{15}{8}, \end{align*} donde hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$. Observamos que $x$, $y$ y $z$ son positivos a partir de su definición ya que $a$, $b$ y $c$ lo son.

Nota. La igualdad se alcanza cuando $x=y=z$, lo que se traduce claramente en que $a=b=c$.

Solución. La condición $abc=1$ puede eliminarse si escribimos $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, siendo ahora $x,y,z\gt 0$ reales positivos arbitrarios. Esto nos permite escribir la desigualdad a probar como \[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{3}{4}.\] Por un lado, la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática nos da \[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\right)^2.\] Por otro lado, por la desigualdad de Nesbitt (véase la nota), tenemos que \[\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\geq\frac{3}{2}.\] Combinando estas dos desigualdades, obtenemos la del enunciado.

Nota. La desigualdad de Nesbitt nos dice que \[\frac{A}{B+C}+\frac{B}{C+A}+\frac{C}{A+B}\geq\frac{3}{2}\] para cualesquiera reales positivos $A,B,C$. La igualdad se tiene cuando $A=B=C$. En nuestro caso, la hemos aplicado para $A=zx$, $B=xy$ y $C=yz$, luego si la igualdad se alcanza, se tiene que $x=y=z$. Esto nos lleva a que la igualdad en la desigualdad original se tiene sólo para $a=b=c=1$.