Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2785 problemas y 1075 soluciones.
Problema 1472
ASU, 1968-P16
Sean $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ y $\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$ permutaciones de los números $\{1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}\}$. Si se cumple que
\[a_1+b_1\geq a_2+b_2\geq\ldots\geq a_n+b_n,\]
demostrar que $a_m+a_n\geq\frac{4}{m}$ para todo $m$.
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Problema 1461
ASU, 1968-P2
¿Qué es más grande $31^{11}$ o $17^{14}$?
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Problema 1458
IMO, 1968-P4
Probar que en todo tetraedro hay un vértice tal que las tres aristas que comparten dicho vértice tienen longitudes que pueden ser las de los lados de un triángulo.
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Problema 1426
- Hallar los valores de $x$ para los cuales $\cos x +\,\mathrm{sen}\,x\gt 1$.
- Hallar los valores de $x$ para los cuales $\cos x + |\mathrm{sen}\,x|\gt 1$.
pistasolución 1info
Pista. ¿Qué relación hay entre $\cos(x)+\mathrm{sen}(x)$ y $\mathrm{sen}(x+45^\circ)$?
Solución.
- Si multiplicamos por $\cos(45)=\sin(45)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ la ecuación, obtenemos \[\mathrm{sen}(x+45)=\mathrm{sen}(45)\cos(x)+\cos(45)\mathrm{sen}(x)=\mathrm{sen}(45)(\cos(x)+\mathrm{sen}(x)).\] Por lo tanto, la desigualdad que queremos probar se traduce en que \[\mathrm{sen}(x+45^\circ)\gt\cos(45).\] En el intervalo $[0,360]$, los ángulos cuyo seno es mayor que el seno de $45$ son los del intervalo $(45,135)$, luego la inecuación anterior tiene como soluciones los puntos de los intervalos $(0,90)$, salvo múltiplos de $360$.
- Para $x\in(0,180)$, el seno es positivo, luego tenemos las mismas soluciones del apartado anterior $(0,90)$. Ahora bien, la función $f(x)=\cos(x)+|\mathrm{sen}(x)|$ cumple que $f(-x)=f(x)$ (es par), luego también tenemos las soluciones $(-90,0)$. Si observamos finalmente que $x=0$ no es solución ya que $f(0)=1$ y que $f(x)$ tiene período $360$, tenemos que la respuesta es los intervalos $(-90,0)$ y $(0,90)$, salvo múltiplos enteros de $360$.
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Problema 1418
Dados el triángulo equilátero $ABC$ de lado $a$ y su circunferencia circunscrita, se considera el segmento circular limitado por la cuerda $AB$ y el arco (de $120^\circ$) con los mismos extremos. Al cortar este segmento circular con rectas paralelas al lado $BC$ , queda determinado sobre cada una de ellas un segmento de puntos interiores al segmento circular mencionado. Determinar la longitud máxima de esos segmentos rectilíneos.
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