Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean \(m\) y \(n\) enteros positivos tales que \(n \leq m\). Probar que $$2^{n} n! \leq \frac{(m + n)!}{(m - n)!} \leq (m^2 + m)^n.$$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ número reales positivos tales que \[a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n.\] Demostrar que \[\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{2}.\]

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ factores escogidos de entre $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n\] para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$.

Los números reales $x_1, x_2, \dots, x_{1991}$ satisfacen $$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + \cdots + |x_{1990} - x_{1991}| = 1991.$$ ¿Cuál es el valor máximo posible de $$ |s_1 - s_2| + |s_2 - s_3| + \cdots + |s_{1990} - s_{1991}|, $$ donde $s_n = \tfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$?

Demostrar que $$\frac{(x+y+z)^2}{3} \geq x\sqrt{yz} + y\sqrt{zx} + z\sqrt{xy}$$ para cualesquiera números reales $x, y, z\geq 0$.