Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos otro triángulo equilátero $A'B'C'$ de lados paralelos a los respectivos de $ABC$ y cuya circunferencia inscrita sea la circunferencia circunscrita de $ABC$, como se muestra en la figura. Sean $M$ y $M'$ los puntos medios de los segmentos $AB$ y $A'B'$, respectivamente. Cualquier segmento paralelo al lado $BC$ contenido en el segmento circular tiene longitud menor o igual que $M'P$ (marcado en rojo en la figura), siendo $P$ el punto del lado $AB$ tal que $M'P$ es paralelo a $BC$. Esto es porque cualquier otro segmento se puede prolongar hasta tocar ambas rectas $AB$ y $A'B'$.

Como el triángulo $MM'P$ es rectángulo y tiene el ángulo $\angle MM'P=30^\circ$, se sigue que \[\cos(30^\circ)=\frac{MM'}{M'P}\ \Leftrightarrow\ M'P=\frac{MM'}{\cos(30^\circ)}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}MM'.\] Ahora bien, $MM'$ es la diferencia entre el radio circunscrito $OM'$ y el radio inscrito $OM$ del triángulo equilátero $ABC$ de lado $a$. Estos vienen dados por $\frac{\sqrt{3}}{3}a$ y $\frac{\sqrt{3}}{6}a$, respectivamente, luego la longitud máxima que nos piden es \[M'P=\tfrac{2}{\sqrt{3}}(\tfrac{\sqrt{3}}{3}a-\tfrac{\sqrt{3}}{6}a)=\tfrac{1}{3}a.\]