Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular al centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices a cualquier otro punto del plano.

El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^2$. Determinar el valor mínimo que puede tomar la suma de tales enteros.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a\gt 1$ y $b\gt 2$. Demostrar que \[a^b+1\geq b(a+1)\] y determinar cuándo se tiene la igualdad.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ac=1$. Demostrar que \[\frac{a^3}{a^2+3b^2+3ab+2bc}+\frac{b^3}{b^2+3c^2+3bc+2ca}+\frac{c^3}{c^2+3a^2+3ca+2ab}\gt\frac{1}{6(a^2+b^2+c^2)^2}.\]

Un punto $P$ se encuentra en el ángulo determinado por las semirrectas $OA$ y $OB$ con vértice en $O$. Encontrar dos puntos, $Q$ en $OA$ y $R$ en $OB$, que estén alineados con $P$ y para los que \[\frac{1}{PQ}+\frac{1}{PR}\] toma su valor máximo.