Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si $a,b,c,d,e$ son cinco números positivos que se encuentran entre dos números positivos $p$ y $q$, probar que \[(a+b+c+d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)\leq 25+6\left(\sqrt{\frac{p}{q}}-\sqrt{\frac{q}{p}}\right)^2\] y determinar en qué casos se tiene la igualdad.

Determinar el máximo volumen de un triedro trirrectángulo $OABC$ (es decir, una pirámide triangular tal que $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ$) en función de la suma $S$ de sus seis aristas.

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio. Demostrar que \[AC^2+BD^2+AD^2+BC^2\geq AB^2+CD^2.\]

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\ldots+x_n)\Bigl(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\Bigr)}\] es entero para todo $n=1,2,\ldots,2023$. Demostrar que $a_{2023}\geq 3034$.

Probar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}\] se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$.