Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}\] se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$.

Los números reales $a,b,c,d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$. Demostrar que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\lt 1.\]

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales positivos tales que $a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n$. Probar que \[\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\ldots+\frac{a_1^2}{a_1+b_1}\geq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{2}.\]

Consideremos todos los triángulos $ABC$ que tienen la base $AB$ fija y cuya altura sobre esta base es una constante $h$. Determinar para cuál de tales triángulos el producto de sus alturas es máximo.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ de ellos. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n,\] para todo entero $k$ entre $1$ y $n-1$.