Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Para cada $0\leq k\leq n$, sea $S_k$ la suma de los productos de $k$ elementos distintos de $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$, de forma que \begin{align*} S_0&=1,\\ S_1&=x_1+x_2+\ldots+x_n=S,\\ S_2&=x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_{n-1}x_n,\\ &\vdots\\ S_n&=x_1x_2\cdots x_n. \end{align*} Entonces, al desarrollar el producto, se tiene que \[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)=1+S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n,\] por lo que será suficiente demostrar que $k!S_k\leq S^k$ para $1\leq k\leq n$. Sin embargo, al desarrollar $S^k=(x_1+x_2+\ldots+x_n)^k$, tenemos $k!$ veces cada producto de $k$ elementos distintos de $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$, una vez por cada permutación de factores. Como en $S_k$ estamos considerando cada uno de estos productos una sola vez y en $S^k$ hay más sumandos (los que tienen factores repetidos), todos ellos positivos porque $x_1,\ldots,x_n$ son positivos, se deduce directamente la desigualdad deseada $k!S_k\leq S^k$ y esto concluye la demostración.

Nota. Es interesante observar que el miembro de la derecha es a su vez menor o igual que $e^S=\sum_{k=0}^\infty\frac{S^k}{k!}$ (todos los sumandos de esta serie son positivos). Sin embargo, la desigualdad \[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq e^{x_1+x_2+\ldots+x_n}\qquad (\star)\] es mucho más sencilla ya que $1+x\leq e^x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ (de hecho, la desigualdad $(\star)$ es cierta para $x_1,\ldots,x_n\gt -1$, ¿sabrías ver por qué?).