Administración     

Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

OME Local
OME Andaluza
OME Nacional
OIM
IMO
EGMO
USAMO
ASU
APMO
OMCC
Retos UJA
Selector
La base de datos contiene 2791 problemas y 1081 soluciones.
Inicio
—20
—5
+5
+20
Final
Problema 1259
APMO, 1990-P2
Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ de ellos. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n,\] para todo entero $k$ entre $1$ y $n-1$.
Sin pistas
Sin soluciones
info
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1253
APMO, 1989-P1
Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos y sea $S=x_1+x_2+\ldots+x_n$ su suma. Demostrar que \[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq 1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\ldots+\frac{S^n}{n!}.\]
Sin pistas
Sin soluciones
info
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1247
ASU, 1966-P2
  1. Se tienen dos puntos $B$ y $C$ en un segmento $AD$ de forma que $AB=CD$. Demostrar que para cualquier punto $P$ del plano se cumple que $PA+PD\geq PB+PC$.
  2. Dados cuatro puntos $A,B,C,D$ en el plano tales que para cualquier punto $P$ del plano se cumple que $PA+PD\geq PB+PC$. Demostrar que $B$ y $C$ están en el segmento $AD$ y verifican $AB=CD$.
Sin pistas
Sin soluciones
info
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1240
IMO, 1965-P1
Hallar todos los números reales $0\leq x\leq 2\pi$ que verifican las desigualdades \[2\cos(x)\leq\left|\sqrt{1+\mathrm{sen}(2x)}-\sqrt{1-\mathrm{sen}(2x)}\right|\leq\sqrt{2}.\]
Sin pistas
Sin soluciones
info
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1235
IMO, 1964-P2
Supongamos que $a,b,c$ son los lados de un triángulo. Probar que \[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc.\]
pistasolución 1info
Pista. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces puedes sustituir $a=x+y$, $b=y+z$ y $c=z+x$ y ahora $x,y,z$ son números reales positivos arbitrarios. Opera para simplificar la expresión resultante.
Solución. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces podemos sustituir $a=x+y$, $b=y+z$ y $c=z+x$, siendo ahora $x,y,z$ números positivos arbitrarios. Esto nos da la siguiente desigualdad a demostrar \[2z(x+y)^2+2x(y+z)^2+2y(z+x)^2\leq 3(x+y)(y+z)(x+z).\] Haciendo todos los productos indicados, nos queda equivalentemente \[xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2\leq 6xyz.\] Esta última desigualdad es consecuencia de aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los seis sumandos (observemos que son números positivos), es decir, \[\frac{xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2}{6}\leq\sqrt[6]{xy^2\cdot x^2y\cdot yz^2\cdot y^2z\cdot zx^2\cdot xz^2}=xyz.\]
Informar error
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2026. Esta página ha sido creada mediante software libre