Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces podemos sustituir $a=x+y$, $b=y+z$ y $c=z+x$, siendo ahora $x,y,z$ números positivos arbitrarios. Esto nos da la siguiente desigualdad a demostrar \[2z(x+y)^2+2x(y+z)^2+2y(z+x)^2\leq 3(x+y)(y+z)(x+z).\] Haciendo todos los productos indicados, nos queda equivalentemente \[xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2\leq 6xyz.\] Esta última desigualdad es consecuencia de aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los seis sumandos (observemos que son números positivos), es decir, \[\frac{xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2}{6}\leq\sqrt[6]{xy^2\cdot x^2y\cdot yz^2\cdot y^2z\cdot zx^2\cdot xz^2}=xyz.\]

Solución. La raíz está bien definida para $x\geq\frac{-1}{2}$, pero el denominador se anula precisamente en $x=0$, por lo que el dominio en que se mueve $x$ es $D=[\frac{-1}{2},0)\cup(0,\infty)$. Como ambos miembros de la desigualdad son funciones continuas en $D$, estudiaremos cuándo son iguales para entender dónde puede producirse los cambios de signo.

En este conjunto $D$, podemos multiplicar numerado y denominador por la expresión conjugada $(1+\sqrt{1+2x})^2$ para expresar equivalentemente \begin{align*} 2x+9=\frac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2(1+\sqrt{1+2x})^2}&=\frac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-(1+2x))^2}\\ &=(1+\sqrt{1+2x})^2=2+2x+2\sqrt{1+2x}. \end{align*} Así nos queda la ecuación $7=2\sqrt{1+2x}$, que nos da rápidamente la única posible solución $x=\frac{45}{8}$. Los puntos de $D$ en los que puede cambiar el signo de la desigualdad original son, por el teorema de Bolzano, $x=0$ (donde se pierde la continuidad) y $x=\frac{45}{8}$. Damos valores a $x$ en cada uno de los intervalos $[\frac{-1}{2},0)$, $(0,\frac{45}{8})$ y $(\frac{45}{8},+\infty)$ para comprobar dicho signo.

• En $x=\frac{-1}{2}$, la desigualdad del enunciado queda $1\lt 8$, que es cierta, luego la desigualdad se cumple en todo $[\frac{-1}{2},0)$.
• En $x=4$, la desigualdad queda $16\lt 17$, que también es cierta, luego se cumple en todo $(0,\frac{45}{8})$.
• En $x=12$, la desigualdad queda $36\lt 27$, que en este caso es falsa, luego es falsa en todo $(\frac{45}{8},+\infty)$.

En resumen, hemos visto que la desigualdad del enunciado se cumple únicamente para $x\in[\frac{-1}{2},0)\cup(0,\frac{45}{2})$.

Nota. El truco de multiplicar por el conjugado en realidad nos dice que la fracción de la izquierda tiene una discontinuidad evitable en $x=0$. Se soluciona definiendo el valor esta fracción como $3$ en $x=0$ pero, tal y como está planteado el problema, hay que excluir necesariamente $x=0$ de la solución.