Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$ y $b$ números reales tales que la inecuación \[a\cos(x)+b\cos(3x)\gt 1\] no tiene soluciones reales. Demostrar que $|b|\leq 1$.

Sea $S$ el conjunto de los puntos $(x,y)$ del plano que cumplen \[x^2-2x+a\leq y\leq -x^2\] para cierto parámetro real $a$. Hallar el menor área posible que puede tener un rectángulo con lados paralelos a los ejes tal que $S$ queda en su interior.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$. Probar que \[(x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2\geq 4(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2).\]

Se tiene una sucesión decreciente infinita de números reales $x_1\geq x_2\geq x_3\geq\ldots$ que cumple que \[x_1+\frac{x_4}{2}+\frac{x_9}{3}+\ldots+\frac{x_{n^2}}{n}\leq 1\] para todo entero positivo $n$. Demostrar que se cumple que \[x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+\ldots+\frac{x_n}{n}\leq 3.\]

Dados $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales, definimos $\displaystyle b_k=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_k}{k}$ para $1\leq k\leq n$. Sean \begin{align*} C&=(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2,\\ D&=(a_1-b_n)^2+(a_2-b_{n-1})^2+\ldots+(a_n-b_1)^2.\\ \end{align*} Demostrar que $C\leq D\leq 2C$.