Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ factores escogidos de entre $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n\] para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$.

Los números reales $x_1, x_2, \dots, x_{1991}$ satisfacen $$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + \cdots + |x_{1990} - x_{1991}| = 1991.$$ ¿Cuál es el valor máximo posible de $$ |s_1 - s_2| + |s_2 - s_3| + \cdots + |s_{1990} - s_{1991}|, $$ donde $s_n = \tfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$?

Demostrar que $$\frac{(x+y+z)^2}{3} \geq x\sqrt{yz} + y\sqrt{zx} + z\sqrt{xy}$$ para cualesquiera números reales $x, y, z\geq 0$.

Si todas las alturas de todas las caras de un tetraedro miden al menos $1$, demostrar que la distancia mínima entre cada par de aristas opuestas es mayor que $2$.

Sea $p(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes reales positivos cuya suma es 1. Demostrar que, dados números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$ con $x_1x_2\cdots x_n=1$, se cumple que \[p(x_1)p(x_2)\cdots p(x_n)\geq 1.\]