Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La raíz está bien definida para $x\geq\frac{-1}{2}$, pero el denominador se anula precisamente en $x=0$, por lo que el dominio en que se mueve $x$ es $D=[\frac{-1}{2},0)\cup(0,\infty)$. Como ambos miembros de la desigualdad son funciones continuas en $D$, estudiaremos cuándo son iguales para entender dónde puede producirse los cambios de signo.

En este conjunto $D$, podemos multiplicar numerado y denominador por la expresión conjugada $(1+\sqrt{1+2x})^2$ para expresar equivalentemente \begin{align*} 2x+9=\frac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2(1+\sqrt{1+2x})^2}&=\frac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-(1+2x))^2}\\ &=(1+\sqrt{1+2x})^2=2+2x+2\sqrt{1+2x}. \end{align*} Así nos queda la ecuación $7=2\sqrt{1+2x}$, que nos da rápidamente la única posible solución $x=\frac{45}{8}$. Los puntos de $D$ en los que puede cambiar el signo de la desigualdad original son, por el teorema de Bolzano, $x=0$ (donde se pierde la continuidad) y $x=\frac{45}{8}$. Damos valores a $x$ en cada uno de los intervalos $[\frac{-1}{2},0)$, $(0,\frac{45}{8})$ y $(\frac{45}{8},+\infty)$ para comprobar dicho signo.

• En $x=\frac{-1}{2}$, la desigualdad del enunciado queda $1\lt 8$, que es cierta, luego la desigualdad se cumple en todo $[\frac{-1}{2},0)$.
• En $x=4$, la desigualdad queda $16\lt 17$, que también es cierta, luego se cumple en todo $(0,\frac{45}{8})$.
• En $x=12$, la desigualdad queda $36\lt 27$, que en este caso es falsa, luego es falsa en todo $(\frac{45}{8},+\infty)$.

En resumen, hemos visto que la desigualdad del enunciado se cumple únicamente para $x\in[\frac{-1}{2},0)\cup(0,\frac{45}{2})$.

Nota. El truco de multiplicar por el conjugado en realidad nos dice que la fracción de la izquierda tiene una discontinuidad evitable en $x=0$. Se soluciona definiendo el valor esta fracción como $3$ en $x=0$ pero, tal y como está planteado el problema, hay que excluir necesariamente $x=0$ de la solución.

Solución. Supongamos en primer lugar que hay $j$ elementos iguales a $1$ y $n-j$ iguales a $-1$ (es decir, no hay ceros). Entonces, habrá un producto $1$ por cada pareja de los primeros $j$ elementos y por cada pareja de los $n-j$ restantes, es decir, habrá $\binom{j}{2}+\binom{n-j}{2}$ sumandos iguales a $1$. Por otro lado, habrá un producto $-1$ por cada forma de elegir una pareja con un $1$ y un $-1$, es decir, habrá $j(n-j)$ sumandos iguales a $-1$. Por tanto, en tal caso la suma será \[\binom{j}{2}+\binom{n-j}{2}-j(n-j)=\frac{n^2-4jn+4j^2-n}{2}=\frac{(n-2j)^2-n}{2}.\] Esta suma será mínima cuando $n-2j$ esté lo más cercano posible a cero y dependerá de que $n$ sea par (tomamos $j=\frac{n}{2}$) o impar (tomamos $j=\frac{n-1}{2}$). Así, la suma mínima (sin usar ceros) será \[S(n)=\begin{cases}\frac{-n}{2}&\text{si }n\text{ es par},\\ \frac{1-n}{2}&\text{si }n\text{ es impar}.\end{cases}\] La función $S(n)$ es decreciente (no estrictamente) y usar ceros equivale a usar menos de $n$ números, luego $S(n)$ también es la suma mínima para $n$ números cuando algunos de ellos son ceros.

Para responder al apartado (b), supongamos que ahora se trata de números reales en el intervalo $[-1,1]$. En la suma total $S$, cada término $x_k$ multiplica a $s_k=(x_1+\ldots+x_{k-1}+x_{k+1}+\ldots+x_n$. Por tanto, si $s_k\neq 0$ y $-1\lt x_k\lt 1$, la suma total $S$ disminuirá haciendo $x_k=1$ o $x_k=-1$ dependiendo de si $s_k\lt 0$ o $s_k\gt 0$, respectivamente. Si por el contrario $s_k=0$, entonces $S$ no variará si tomamos $x_k=1$ o $x_k=-1$. En definitiva, el mínimo valor de $S$ se alcanzará en algún punto con todos los $x_k$ iguales a $\pm 1$, lo que demuestra que la respuesta es la misma que en el apartado (a).