Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El logaritmo del numerador es igual a \[\frac{1}{ab}\log(a+b)+\frac{1}{bc}\log(b+c)+\frac{1}{ca}\log(c+a),\] que es una combinación de logaritmos con coeficientes positivos. Esto nos da pie a usar la desigualdad de Jensen (ver la nota) para la función $f(x)=\log(x)$, que es cóncava, aplicada a los números $x_1=a+b$, $x_2=b+c$ y $x_3=c+a$ con pesos $\frac{1}{ab}$, $\frac{1}{bc}$ y $\frac{1}{ca}$, respectivamente. Esto nos da \begin{align*} \frac{\frac{1}{ab}\log(a+b)+\frac{1}{bc}\log(b+c)+\frac{1}{ca}\log(c+a)}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}&\leq\log\left(\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}+\frac{c+a}{ca}\right)\\ &=\log\left(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right). \end{align*} Por tanto, podemos despejar \begin{align*} \log\left(\frac{(a+b)^{\frac{1}{ab}}(b+c)^{\frac{1}{bc}}(c+a)^{\frac{1}{ca}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)&\leq \log(2)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\\ &=\log(2)\cdot\frac{a+b+c}{abc}=\log(2).\\ \end{align*} Haciendo la exponencial de ambos miembros, se tiene la desigualdad del enunciado.

Nota. La desigualdad de Jensen nos dice que si $f(x)$ es una función cóncava en un intervalo $[a,b]$ y tenemos puntos $x_1,\ldots,x_n\in [a,b]$ y pesos $w_1,\ldots,w_n\gt 0$, entonces \[\frac{w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+\ldots+w_nf(x_n)}{w_1+w_2+\ldots+w_n}\leq f(\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}).\]

Solución. La desigualdad entre las medias geométrica y cuadrática nos dice que \[\sqrt[4]{|abcd|}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=\sqrt{3},\] de donde $abcd\leq |abcd|\leq 9$ (observemos que hay que poner valor absoluto porque esta desigualdad sólo es cierta para números no negativos). Ahora bien, para que se dé la igualdad, tiene que ser $|a|=|b|=|c|=|d|=\sqrt{3}$ y la condición $a+b+c+d=0$ nos dice que exactamente dos de los números tienen que ser positivos y dos negativos. Por ejemplo, podemos poner $a=b=\sqrt{3}$ y $c=d=-\sqrt{3}$, lo que confirma que el valor máximo de $abcd$ es efectivamente $9$ y sabemos exactamente cuándo se da la igualdad.

En cuanto al mínimo,

Solución. Observemos que \begin{align*} \frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}&=\frac{a^3-a^2 b c-a b^2 c^2+b^3 c^3}{a b^3 c}\\ &=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a^3}{b^3c^3}-\frac{a^2}{b^2c^2}-\frac{a}{bc}+1\right). \end{align*} Obtenemos así el polinomio $x^3-x^2-x+1$ tras el cambio $x=\frac{a}{bc}$. Este polinomio se puede factorizar como $(x-1)^2(x+1)$, luego podemos proseguir factorizando como \begin{align*} \frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a} &=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{bc}-1\right)^2\left(\frac{a}{bc}+1\right)\geq 0. \end{align*} La igualdad se da cuando el factor $\frac{a}{bc}-1$ se anula (ya que el resto de factores son estrictamente positivos), es decir, cuando $a=bc$.

Solución. En primer lugar, vamos a determinar cuál es el lado mayor. Por un lado, \[x^4+x^3+2x^2+x+1\gt x^4+1\gt x^4-1,\] ya que $x$ es positivo. Usando que $x\gt 1$, tenemos que $x^4\geq x^3$ y $x^2\gt x$, luego \[x^4+x^3+2x^2+x+1\gt x^3+x^3+x^2+x+x+1=2x^3+x^2+2x+1.\] Sabiendo entonces que el primer lado es el mayor, tendremos que ver cuándo no supera a la suma de los otros dos, es decir, la respuesta al enunciado serán los números $x\gt 1$ tales que \[x^4+x^3+2x^2+x+1\lt (2x^3+x^2+2x+1)+(x^4-1).\] Tras simplificar y factorizar, nos queda $-x^3+x^2-x+1\lt 0$ y podemos factorizar el miembro de la izquierda para llegar a la desgualdad $(x^2+1)(1-x)\lt 0$, desigualdad que no se cumple para todo $x\gt 1$. Por tanto, para todo $x\gt 1$ hay un triángulo cuyos lados tienen las longitudes del enunciado.