Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En primer lugar, vamos a determinar cuál es el lado mayor. Por un lado, \[x^4+x^3+2x^2+x+1\gt x^4+1\gt x^4-1,\] ya que $x$ es positivo. Usando que $x\gt 1$, tenemos que $x^4\geq x^3$ y $x^2\gt x$, luego \[x^4+x^3+2x^2+x+1\gt x^3+x^3+x^2+x+x+1=2x^3+x^2+2x+1.\] Sabiendo entonces que el primer lado es el mayor, tendremos que ver cuándo no supera a la suma de los otros dos, es decir, la respuesta al enunciado serán los números $x\gt 1$ tales que \[x^4+x^3+2x^2+x+1\lt (2x^3+x^2+2x+1)+(x^4-1).\] Tras simplificar y factorizar, nos queda $-x^3+x^2-x+1\lt 0$ y podemos factorizar el miembro de la izquierda para llegar a la desgualdad $(x^2+1)(1-x)\lt 0$, desigualdad que no se cumple para todo $x\gt 1$. Por tanto, para todo $x\gt 1$ hay un triángulo cuyos lados tienen las longitudes del enunciado.

Solución. Desarrollando los términos, la desigualdad equivale a la siguiente: \[(a-a^2)x^2-2abxy+(b-b^2)y^2\geq 0.\] Tenemos ahora que $a-a^2=a(1-a)=ab$ y $b-b^2=b(1-b)=ab$, luego la desigualdad anterior a su vez equivale a la siguiente: \[abx^2-2abxy+aby^2\geq 0\ \Longleftrightarrow\ ab(x-y)^2\geq 0.\] Como esta última es obviamente cierta, la primera también lo es. Además, la igualdad se alcanza cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.

Solución. No es más que la desigualdad de Jensen para la función estrictamente convexa $f(t)=t^2$ con pesos $a$ y $b$. La igualdad se alcanza cuando uno de los pesos es cero o bien cuando los puntos son iguales, es decir, cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.

Solución. Pasando todos los términos al segundo miembro podemos identificar algunos cuadrados perfectos y reescribir la desigualdad como \[(1-x)(x-y)^2+y(1-y)+x\geq 0.\] Esta desigualdad es evidente ya que $0\leq x,y\leq 1$.