Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $x,y,z$ a los denominadores, de forma que \[\left\{\begin{array}{l}3 a + 3 b + 2 c=x\\3 a + 2 b + 3 c=y\\2 a + 3 b + 3 c=z\end{array}\right.\] Este sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado y nos da la solución \[a=\frac{3x+3y-5z}{8}\qquad b=\frac{3x-5y+3z}{8}\qquad c=\frac{-5x+3y+3z}{8},\] lo que nos lleva a que los numeradores se transforman en \[a+b+3c=\frac{-9x+7y+7z}{8},\qquad a+3b+c=\frac{7x-9y+7z}{8},\qquad a+b+3c=\frac{7x+7y-9z}{8}.\] Por lo tanto, el miembro de la izquierda de la desigualdad original se reescribe como \begin{align*}\frac{-9x+7y+7z}{8x}&+\frac{7x-9y+7z}{8y}+\frac{7x+7y-9z}{8z}\\ &=\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\\ &\geq\frac{-27}{8}+\frac{7}{8}(2+2+2)=\frac{15}{8}, \end{align*} donde hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$. Observamos que $x$, $y$ y $z$ son positivos a partir de su definición ya que $a$, $b$ y $c$ lo son.

Nota. La igualdad se alcanza cuando $x=y=z$, lo que se traduce claramente en que $a=b=c$.

Solución. La condición $abc=1$ puede eliminarse si escribimos $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, siendo ahora $x,y,z\gt 0$ reales positivos arbitrarios. Esto nos permite escribir la desigualdad a probar como \[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{3}{4}.\] Por un lado, la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática nos da \[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\right)^2.\] Por otro lado, por la desigualdad de Nesbitt (véase la nota), tenemos que \[\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\geq\frac{3}{2}.\] Combinando estas dos desigualdades, obtenemos la del enunciado.

Nota. La desigualdad de Nesbitt nos dice que \[\frac{A}{B+C}+\frac{B}{C+A}+\frac{C}{A+B}\geq\frac{3}{2}\] para cualesquiera reales positivos $A,B,C$. La igualdad se tiene cuando $A=B=C$. En nuestro caso, la hemos aplicado para $A=zx$, $B=xy$ y $C=yz$, luego si la igualdad se alcanza, se tiene que $x=y=z$. Esto nos lleva a que la igualdad en la desigualdad original se tiene sólo para $a=b=c=1$.

Solución. Si aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \[u=\left(\sqrt{3^x},\sqrt{5^y},\sqrt{7^z}\right),\qquad v=\left(\sqrt{5^y+7^z},\sqrt{3^x+7^z},\sqrt{3^x+5^y}\right),\] obtenemos que \begin{align*} \sqrt{3^x(5^y+7^z)}+\sqrt{5^y(7^z+3^x)}+\sqrt{7^z(3^x+5^y)}&\leq\sqrt{3^x+5^y+7^z}\sqrt{(5^y+7^z)+(3^x+7^z)+(3^x+5^y)}\\ &=\sqrt{2}(3^x+5^y+7^z), \end{align*} donde hemos usado también que las exponenciales $3^x,5^7,7^z$ son números positivos. Esto nos dice que las soluciones de la ecuación son precisamente los valores que hacen de la desigualdad de Cauchy-Schwarz una igualdad. Esto equivale a que los vectores $u$ y $v$ sean proporcionales. Como están formados por números positivos, estamos buscando los $x,y,z$ tales que existe $\lambda\gt 0$ tal que \[\sqrt{3^x}=\lambda\sqrt{5^y+7^z},\qquad \sqrt{5^y}=\lambda\sqrt{3^x+7^z},\qquad \sqrt{7^z}=\lambda\sqrt{3^x+5^y}.\] Elevando al cuadrado y sumando los resultados, llegamos a que $3^x+5^y+7^z=2\lambda^2(3^x+5^y+7^z)$, luego debe ser $\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ya que podemos cancelar $3^x+5^y+7^z\neq 0$ (recordemos que $\lambda$ es positivo). Por lo tanto, el sistema anterior nos queda \[3^x=\frac{5^y+7^z}{2},\qquad 5^y=\frac{3^x+7^z}{2},\qquad 7^z=\frac{3^x+5^y}{2}.\] Este es un sistema lineal en las incógnitas $3^x,5^y,7^z$, que es compatible indeterminado y sus soluciones son los números que verifican $3^x=5^y=7^z$. Tomando logaritmos, podemos reescribir esto como $x\log(3)=y\log(5)=z\log(7)$, luego las soluciones que buscamos pueden parametrizarse en términos de un parámetro real $a\in\mathbb{R}$ como \[(x,y,z)=\left(\frac{a}{\log(3)},\frac{a}{\log(5)},\frac{a}{\log(7)}\right).\]

Solución. La desigualdad se puede escribir de forma equivalente como \[\left(\frac{1}{a}\right)^{a^2+2ac}\left(\frac{1}{b}\right)^{b^2+2ab}\left(\frac{1}{c}\right)^{c^2+2bc}\leq 3.\] La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica con pesos nos dice que si $x_1,x_2,x_3,w_1,w_2,w_3\geq 0$ son tales que $w_1+w_2+w_3=1$, entonces $x_1^{w_1}x_2^{w_2}x_3^{w_3}\leq w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3$. En nuestro caso, tomaremos $x_1=\frac{1}{a}$, $x_2=\frac{1}{b}$, $x_3=\frac{1}{c}$, $w_1=a^2+2ca$, $w_2=b^2+2ab$ y $w_3^2=c^2+2bc$, que claramente verifican $w_1+w_2+w_3=(a+b+c)^2=1$. Tenemos entonces que \begin{align*} \left(\frac{1}{a}\right)^{a^2+2ac}\left(\frac{1}{b}\right)^{b^2+2ab}\left(\frac{1}{c}\right)^{c^2+2bc}&\leq \frac{a^2+2ca}{a}+\frac{b^2+2ab}{b}+\frac{c^2+2bc}{c}\\ &=3(a+b+c)=3. \end{align*}

Nota. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica con pesos se puede ver también como la desigualdad de Jensen para la función cóncava $f(t)=\ln(t)$. La pista la da el hecho de que los exponentes sumen $1$ pero puede ser difícil darse cuenta de que hay que invertir primero para que los signos de la desigualdad vayan en el sentido correcto.

Como los pesos son todos positivos, la igualdad se alcanza sólo cuando $x_1=x_2=x_3$, es decir, cuando $a=b=c$.