Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos suponer que $a\geq 0$ cambiando $f(x)$ de signo y también que $b\geq 0$ cambiando $x$ de signo (si fuera necesario). Como tenemos valores absolutos y simetría en los valores $0$ y $\pm 1$, esto no afecta al problema. Entonces, $f(x)$ es una parábola que tiene su vértice en los reales negativos (o también podría ser una recta si $a=0$, pero en ese caso se tiene claramente $|f(x)|\leq 1\lt\frac{5}{4}$). Vamos a usar ahora que si prefijamos los valores de $f(-1)$, $f(0)$ y $f(1)$ arbitrariamente, la parábola $f(x)$ está unívocamente determinada. Se cumple entonces que $f(x)$ decrece para todo $x\in (-1,0)$ en cualquiera de las siguientes situaciones:

• Cuando decrece $f(0)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(1)$.
• Cuando crece $f(1)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(0)$.
• Cuando decrece $f(-1)$ mientras se fijan $f(0)$ y $f(1)$.

Por tanto, la parábola que toma los menores valores de $(-1,0)$ es aquella que cumple $f(-1)=f(0)=-1$ (mínimo posible) y $f(1)=1$ (máximo posible). Se obtiene fácilmente que esta parábola es $f(x)=x^2+x-1=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$, lo que prueba que $f(x)\geq\frac{-5}{4}$ en $[-1,1]$ y hemos respondido así a la primera pregunta.

En cuanto a $g(x)$, comenzamos observando que \[g(x)=x^2(\tfrac{a}{x^2}+\tfrac{b}{x}+c)=x^2f(\tfrac{1}{x}).\] Por lo tanto, para acotar superiormente $|g(x)|$ en $[-1,1]$, tendremos que acotar inferiormente $|f(x)|$ en $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$. Podemos seguir suponiendo que $a,b\geq 0$, luego $f(x)\geq f(-x)$ para $x\geq 1$ y solo debemos fijarnos en el caso $x\geq 1$. Un razonamiento similar al descrito más arriba nos dice que $f(x)$ crece para $x\in [1,+\infty)$ en cualquiera de las siguientes situaciones:

• Cuando decrece $f(0)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(1)$.
• Cuando crece $f(1)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(0)$.
• Cuando crece $f(-1)$ mientras se fijan $f(0)$ y $f(1)$.

Por tanto, la parábola que tiene mayor valor posible debe cumplir que $f(-1)=f(-1)=1$ (máximo posible) y $f(0)=-1$ (mínimo posible). Esto nos da el caso óptimo $f(x)=x^2-2$. En resumen, para $x\in[-1,1]$, se tiene que \[|g(x)|=x^2|f(\tfrac{1}{x})|\leq x^2f(\tfrac{1}{|x|})\leq x^2(2\tfrac{1}{|x|^2}-1)=2-x^2\leq 2.\]

Nota. La igualdad $|f(x)|=\frac{5}{4}$ sólo se alcanza en los siguientes casos: para los polinomios $f(x)=x^2+x-1$ y $f(x)=-x^2-x+1$ en $x=\frac{-1}{2}$ y para los polinomios $f(x)=x^2-x+1$ y $f(x)=-x^2+x-1$ en $x=\frac{1}{2}$. La igualdad $|g(x)|=2$ se alcanza sólo para los polinomios $g(x)=x^2-2$ y $g(x)=2-x^2$ en $x=0$.

Solución. La respuesta al apartado (a) es negativa. Por ejemplo, los números $x=1$, $y=\frac{1}{2}$ y $z=\frac{3}{2}$ cumplen $x+y+z=3$, pero $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{3}\gt 3$.

La respuesta al apartado (b) es afirmativa. Para verlo, usamos la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los tres números positivos $x,y,z$: \[\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq \frac{x+y+z}{3}\leq 1\ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3.\]

Solución. Sustituyendo $x=1+t$ e $y=1-t$ para $t\in[0,1]$, tenemos que \begin{align*}x^2y^2(x^2+y^2)&=(1+t)^2(1-t)^2((1+t)^2+(1-t)^2)\\ &=2(1-t^2)^2(1+t^2)=2(1-t^2)(1-t^4)\leq 2.\end{align*}

Nota. La igualdad se alcanza si y solo si $t=0$, es decir, cuando $x=y=1$.

Solución. La situación es como se indica en la figura. Como dentro del mismo medio (agua o tierra) la menor distancia la realiza la línea recta, el camino óptimo recorrerá un trayecto rectilíneo en agua y otro rectilíneo en tierra (podemos suponer que el trayecto sobre el agua se realiza al principio sin perder generalidad). En cualquier caso, llamando a $x$ la distancia indicada en la figura, recorreremos $500-x$ en tierra y $\sqrt{10000+x^2}$ por agua según el teorema de Pitágoras. Dados los costes del enunciado, la función que nos da el coste total viene dada por \[f(x)=9(500-x)+15\sqrt{10000+x^2}.\] El mínimo de esta función se puede obtener haciendo $f'(x)=0$, pero vamos a razonar sin derivadas. Para ello, vamos a considerar la ecuación $f(x)=a$ para cierto valor $a$. Podemos desarrollar \begin{align*} f(x)=a&\ \Leftrightarrow\ 4500-9x-a=15\sqrt{10000+x^2}\\ &\ \Leftrightarrow\ (4500-9x-a)^2=225(10000+x^2). \end{align*} Desarrollando y usando la fórmula para la ecuación de segundo grado, tenemos que \[x=\frac{3a-13500\pm 5\sqrt{18810000-9000a+a^2}}{48}.\] Esta expresión nos dice que habrá valores de $x$ tales $f(x)=a$ si $18810000-9000a+a^2=(a-3300)(a-5700)\geq 0$. Como $a\leq 3300$ nos da valores negativos de $x$, deducimos de esta desigualdad que $a\geq 5700$, lo que nos da $x\geq 75$ para la solución de la ecuación de segundo grado con signo $+$. En definitiva, el valor mínimo ocurre para $x=75$ y su coste es $5700$ euros. Esto nos da una longitud (en metros) de \[500-x+\sqrt{100^2+x^2}=425+\sqrt{100^2+75^2}=425+25\sqrt{4^2+3^2}=550.\]