Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si todas las alturas de todas las caras de un tetraedro miden al menos $1$, demostrar que la distancia mínima entre cada par de aristas opuestas es mayor que $2$.

Sea $p(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes reales positivos cuya suma es 1. Demostrar que, dados números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$ con $x_1x_2\cdots x_n=1$, se cumple que \[p(x_1)p(x_2)\cdots p(x_n)\geq 1.\]

Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales positivos con suma $1$. Demostrar que \[\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}+x_n} + \frac{x_n^2}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}.\]

¿Cuál es el mayor valor posible de \[ \big| \, \dots \, \big| \, |a_1 - a_2| - a_3 \big| - \dots - a_{1990} \big|, \] donde $a_1, a_2, \dots, a_{1990}$ es una permutación de $1, 2, 3, \dots, 1990$?

Probar que, para todo número real $x$, se cumple que \[x^4 > x - \tfrac{1}{2}.\]