Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar el menor valor posible de $(x+y)(y+z)$, siendo $x$ e $y$ números reales positivos tales que $(x+y+z) xyz = 1$.

Sea un triángulo de perímetro $1$ con longitudes de lados $a, b, c$. Probar que \[a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < \tfrac{1}{2}.\]

Encontrar el valor mínimo de \[ \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \] para números reales positivos $x, y, z$ tales que $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Determinar el valor mínimo que puede tomar la expresión \[\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}\] siendo $a,b,c,d$ números reales tales que $b,c\gt 0$, $a,d\geq 0$ y $b+c\geq a+d$.

Sean $A,B,C$ los ángulos de un triángulo. Demostrar que \[\frac{2\,\mathrm{sen}\,A}{A}+\frac{2\,\mathrm{sen}\,B}{B}+\frac{2\,\mathrm{sen}\,C}{C}\leq\left(\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\mathrm{sen}\,A+\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{A}\right)\mathrm{sen}\,B+\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)\mathrm{sen}\,C.\]