Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los cinco números $(ax, ax, by, by, by)$, donde $a$ y $b$ son dos constantes que determinaremos más adelante. Dicha desigualdad nos dice que \[\sqrt[5]{a^2x^2b^3y^3}\leq\frac{2ax+3by}{5}.\] La aparición de $x^2y^3$ justifica por qué hemos tomado estos cinco números concretamente. Ahora ajustamos el numerador de la derecha tomando $a=\frac{1}{2}$ y $b=\frac{2}{3}$ para que resulte igual a $x+2y$, que sabemos que es igual a $5$ por hipótesis. La desigualdad anterior queda \[\sqrt[5]{\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{27}\cdot x^2y^3}\leq \frac{x+2y}{5}=1.\] Ahora elevamos a $5$ ambos miembros de la desigualdad y despejamos $x^2y^3$, obteniendo que \[x^2y^3\leq 4\cdot\frac{27}{8}=\frac{27}{2}.\] Hemos probado así que $x^2y^3\leq \frac{27}{2}$ cuando $x+2y=5$, pero debemos asegurarnos que la igualdad se alcanza para algunos valores de $x$ e $y$ (de no ser así, no sería el valor máximo). No obstante, la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que la igualdad se alcanza cuando los cinco números son iguales, es decir, cuando $ax=by$. Tomando los valores concretos $a=\frac{1}{2}$ y $b=\frac{2}{3}$, obtenemos que la igualdad se alcanza cuando $3x=4y$. Como $x+2y=5$, podemos formar un sistema de dos ecuaciones lineales que tiene por solución $(x,y)=(2,\frac{3}{2})$. No sólo hemos probado que el máximo es $\frac{27}{2}$, que es lo que buscábamos, sino también que se alcanza exclusivamente en el punto $(2,\frac{3}{2})$.

Solución. Operando directamente sobre la desigualdad, no es difícil llegar a que \[\frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}-\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}-\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}=\frac{(bc-ad)^2}{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}\geq 0.\]

Nota. Del razonamiento anterior se deduce claramente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $ad=bc$.

Solución. Haciendo operaciones tenemos que \[1-\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}=\frac{1+xy-x^2-y^2}{(1+x)(1+y)}.\] Si suponemos que $x\leq y$, tendremos que $xy-y^2\geq 0$ y, por otro lado, $1-y^2\geq 0$, luego el numerador del término de la derecha es mayor o igual que cero, de donde se deduce la desigualdad del enunciado.

Nota. La igualdad se alcanza cuando $(x,y)$ es una de las tres ternas $(1,1)$, $(1,0)$ ó $(0,1)$.

Solución. Operando, la primera desigualdad es equivalente a $a(b+d)\leq b(a+c)$ que, a su vez, es equivalente a $ad\leq bc$ o bien $\frac{a}{b}\leq\frac{c}{d}$ (es importante que $b$ y $d$ sean positivos para poder hacer todas estas transformaciones). Como esta desigualdad se cumple por hipótesis, tenemos demostrada la que queríamos. Con la segunda desigualdad se procede de forma análoga.

Solución. Transformamos el primer denominador usando la desigualdad de reordenación primero y después la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, obteniendo \[(by+cz)(bz+cy)\leq(by+cz)^2\leq 2(b^2y^2+c^2z^2).\] Observemos que aquí es importante que $b\geq c$ e $y\geq z$. De la misma forma, podemos acotar los otros dos denominadores como \begin{align*} (cz+ax)(cx+az)&\leq2(a^2x^2+c^2z^2),\\ (ax+by)(ay+bx)&\leq2(a^2x^2+b^2y^2). \end{eqnarray*} Si llamamos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado, las desigualdades que hemos probado nos aseguran que \[E\geq\frac{1}{2}\left(\frac{a^2x^2}{b^2y^2+c^2z^2}+\frac{b^2y^2}{a^2x^2+c^2z^2}+\frac{c^2z^2}{a^2x^2+b^2y^2}\right),\] pero el término entre paréntesis es mayor o igual que $\frac{3}{2}$ por la desigualdad de Nesbitt y hemos terminado. Para analizar la igualdad, si esta se alcanza la desigualdad de Nesbitt o la desigualdad entre las medias que hemos usado nos aseguran que $ax=by=cz$. Como los términos están ordenados, para que se den estas igualdades ha de ser $a=b=c$ y $x=y=z$ (esto último también puede deducirse de la desigualdad de reordenación). De aquí es fácil ver que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c$ y $x=y=z$.