Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Operando, la primera desigualdad es equivalente a $a(b+d)\leq b(a+c)$ que, a su vez, es equivalente a $ad\leq bc$ o bien $\frac{a}{b}\leq\frac{c}{d}$ (es importante que $b$ y $d$ sean positivos para poder hacer todas estas transformaciones). Como esta desigualdad se cumple por hipótesis, tenemos demostrada la que queríamos. Con la segunda desigualdad se procede de forma análoga.

Solución. Transformamos el primer denominador usando la desigualdad de reordenación primero y después la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, obteniendo \[(by+cz)(bz+cy)\leq(by+cz)^2\leq 2(b^2y^2+c^2z^2).\] Observemos que aquí es importante que $b\geq c$ e $y\geq z$. De la misma forma, podemos acotar los otros dos denominadores como \begin{align*} (cz+ax)(cx+az)&\leq2(a^2x^2+c^2z^2),\\ (ax+by)(ay+bx)&\leq2(a^2x^2+b^2y^2). \end{align*} Si llamamos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado, las desigualdades que hemos probado nos aseguran que \[E\geq\frac{1}{2}\left(\frac{a^2x^2}{b^2y^2+c^2z^2}+\frac{b^2y^2}{a^2x^2+c^2z^2}+\frac{c^2z^2}{a^2x^2+b^2y^2}\right),\] pero el término entre paréntesis es mayor o igual que $\frac{3}{2}$ por la desigualdad de Nesbitt y hemos terminado.

En cuanto a la igualdad, si suponemos que esta se alcanza, la desigualdad de Nesbitt o la desigualdad entre las medias que hemos usado nos aseguran que $ax=by=cz$. Como los términos están ordenados, para que se den estas igualdades ha de ser $a=b=c$ y $x=y=z$ (esto último también puede deducirse de la desigualdad de reordenación). De aquí es fácil ver que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c$ y $x=y=z$.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (o simplemente desarrollar $(1-a)^2\geq 0$) nos asegura que $1+a^2\geq 2a$ y, análogamente, $1+b^2\geq 2b$ y $1+c^2\geq 2c$, lo que nos permite escribir \[a^2(1+b^2)^2+b^2(1+c^2)^2+c^2(1+a^2)^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2).\] Usando finalmente la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, así como el hecho de que $abc=1$, llegamos a que \[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=3.\] Combinando las dos igualdades anteriores se llega al resultado buscado. Observemos que para que se dé la igualdad, ha de cumplirse que $(1-a)^2=0$, $(1-b)^2=0$ y $(1-c)^2=0$, de donde vemos fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c=1$.

Solución. Tomando logaritmos neperianos y usando las propiedades de los logaritmos, la desigualdad del enunciado es equivalente a la siguiente: \[(b+c)\ln(a)+(a+c)\ln(b)+(a+b)\ln(c)\geq 2a\ln(a)+2b\ln(b)+2c\ln(c).\] Esta desigualdad involucra tanto a los números como a sus logaritmos, pero están bien separados como sumas de productos, lo que nos incita a intentar usar la desigualdad de reordenación. Concretamente, si suponemos sin perder generalidad que $0\lt a\leq b\leq c$, tendremos que $\ln(a)\leq\ln(b)\leq\ln(c)$ ya que el logaritmo es una función creciente. Así, la desigualdad de reordenación nos dice que \begin{align*} b\ln(a)+c\ln(b)+a\ln(c)&\geq a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\\ c\ln(a)+a\ln(b)+b\ln(c)&\geq a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c) \end{align*} Sumando estas dos desigualdades obtenemos la del enunciado.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{x}{1+x}$, definida para todo $x\gt-1$. Es fácil comprobar que su segunda derivada satisface \[f''(x)=\frac{-2}{(x+1)^3}\lt 0\quad\text{para todo }x\gt -1,\] lo que nos dice que $f$ es cóncava en este intervalo. Ahora bien, la desigualdad de Jensen aplicada a esta función en los puntos $a$ y $b$ nos asegura que \[\frac{a+b}{2+a+b}=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\right),\] de donde se deduce la desigualdad que queremos probar. Como la función es estrictamente convexa, la igualdad en la desigualdad de Jensen sólo puede alcanzarse cuando $a=b$ y, por tanto, la igualdad en la desigualdad del enunciado es cierta si, y sólo si, $a=b$.

Solución. Poniendo denominador común y operando, obtenemos que \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{2(a+b)}{2+a+b}=\frac{-(a-b)^2}{(1+a)(1+b)(2+a+b)}\leq 0,\] (observemos que los denominadores son positivos ya que $a\gt-1$ y $b\gt -1$), de donde se deduce la desigualdad del enunciado.