Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (o simplemente desarrollar $(1-a)^2\geq 0$) nos asegura que $1+a^2\geq 2a$ y, análogamente, $1+b^2\geq 2b$ y $1+c^2\geq 2c$, lo que nos permite escribir \[a^2(1+b^2)^2+b^2(1+c^2)^2+c^2(1+a^2)^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2).\] Usando finalmente la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, así como el hecho de que $abc=1$, llegamos a que \[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=3.\] Combinando las dos igualdades anteriores se llega al resultado buscado. Observemos que para que se dé la igualdad, ha de cumplirse que $(1-a)^2=0$, $(1-b)^2=0$ y $(1-c)^2=0$, de donde vemos fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c=1$.

Solución. Tomando logaritmos neperianos y usando las propiedades de los logaritmos, la desigualdad del enunciado es equivalente a la siguiente: \[(b+c)\ln(a)+(a+c)\ln(b)+(a+b)\ln(c)\geq 2a\ln(a)+2b\ln(b)+2c\ln(c).\] Esta desigualdad involucra tanto a los números como a sus logaritmos, pero están bien separados como sumas de productos, lo que nos incita a intentar usar la desigualdad de reordenación. Concretamente, si suponemos sin perder generalidad que $0\lt a\leq b\leq c$, tendremos que $\ln(a)\leq\ln(b)\leq\ln(c)$ ya que el logaritmo es una función creciente. Así, la desigualdad de reordenación nos dice que \begin{align*} b\ln(a)+c\ln(b)+a\ln(c)&\geq a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\\ c\ln(a)+a\ln(b)+b\ln(c)&\geq a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c) \end{align*} Sumando estas dos desigualdades obtenemos la del enunciado.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{x}{1+x}$, definida para todo $x\gt-1$. Es fácil comprobar que su segunda derivada satisface \[f''(x)=\frac{-2}{(x+1)^3}\lt 0\quad\text{para todo }x\gt -1,\] lo que nos dice que $f$ es cóncava en este intervalo. Ahora bien, la desigualdad de Jensen aplicada a esta función en los puntos $a$ y $b$ nos asegura que \[\frac{a+b}{2+a+b}=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\right),\] de donde se deduce la desigualdad que queremos probar. Como la función es estrictamente convexa, la igualdad en la desigualdad de Jensen sólo puede alcanzarse cuando $a=b$ y, por tanto, la igualdad en la desigualdad del enunciado es cierta si, y sólo si, $a=b$.

Solución. Poniendo denominador común y operando, obtenemos que \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{2(a+b)}{2+a+b}=\frac{-(a-b)^2}{(1+a)(1+b)(2+a+b)}\leq 0,\] (observemos que los denominadores son positivos ya que $a\gt-1$ y $b\gt -1$), de donde se deduce la desigualdad del enunciado.

Solución. Operando con la desigualdad es fácil llegar a que \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a b (a+b+2)}{(1+a) (1+b) (1+a+b)}.\] Como esta última cantidad es mayor o igual que $0$, la desigualdad del enunciado se deduce fácilmente. Además, como $2+a+b\geq 2\gt 0$, vemos que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=0$ ó $b=0$.

Solución. Para probar la desigualdad de la izquierda observemos que si uno de los tres números es cero, entonces ésta es trivial. En caso contrario, sumando $2xyz$ a ambos miembros y dividiendo por $xyz$, la desigualdad es equivalente a \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2.\] Ahora bien, la desigualdad entre las medias aritmética y armónica nos dice que \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=9\gt 2,\] con lo que la desigualdad está probada.

Para la desigualdad de la derecha, hacemos el siguiente desarrollo: \begin{align*} (1-2x)(1-2y)(1-2z)&=1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)-8xyz\\ &=-1+4(xy+yz+xz)-8xyz, \end{align*} Despejando y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, llegamos a que \begin{align*} xy+yz+xz-2xyz&=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\ &\leq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{3-2(x+y+z)}{3}\right)^3=\frac{7}{27}. \end{align*} No obstante, lo anterior tiene un error: para aplicar la desigualdad entre las medias es necesario que los términos $(1-2x)$, $(1-2y)$ y $(1-2z)$ sean no negativos. Por tanto, veamos qué pasa si alguno de los números $x,y,z$ es mayor que $\frac{1}{2}$. Como $x+y+z=1$, a lo sumo uno de los tres es mayor que $\frac{1}{2}$, en cuyo caso $(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq 0$ mientras que $3-2(x+y+z)=1\geq 0$, lo que nos dice que desigualdad de arriba también es cierta cuando uno de los tres números es mayor que $\frac{1}{2}$. Esto termina la demostración.