Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El truco de este problema es acotar $\frac{1}{a}\geq\frac{1}{2^r}$ donde $2^r$ la menor potencia de $2$ que es mayor o igual que $a$. En otras palabras, tenemos que \begin{align*} \frac{1}{2}&\geq\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}&\geq\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}&\geq\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\\ &\vdots \end{eqnarray*} Así, tenemos que el miembro de la izquierda del enunciado es mayor o igual que \[1+\frac{1}{2}+\stackrel{(n)}{\ldots}+\frac{1}{2}=1+\frac{n}{2}.\]

Solución. Observemos en primer lugar que \[\frac{a^n+a^{-n}-2}{a+a^{-1}-2}=\frac{(a^n-1)^2}{a^{n-1}(a-1)^2}.\] Por tanto, la desigualdad a probar es equivalente a \[n\lt \frac{a^n-1}{a^{(n-1)/2}(a-1)}=\frac{1}{a^{(n-1)/2}}(1+a+a+\ldots+a^{n-1}),\] donde hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. No es demasiado fácil darse cuenta de esta forma de escribirlo, pero es necesario reconocer la fracción $(a^n-1)/(a-1)$ en cualquier contexto. Por tanto, tenemos que probar que \[n\lt a^{(1-n)/2}+a^{(3-n)/2}+a^{(5-n)/2}+\ldots+a^{(n-3)/2}+a^{(n-1)/2}.\] Ahora bien, el producto de todos los sumandos del miembro de la derecha es igual a $1$ (¿por qué?), luego la desigualdad es consecuencia de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Notemos que no se puede dar la igualdad ya que, en tal caso, todos estos sumando habrían de ser iguales, con lo que $a=1$, pero el enunciado descarta este caso.

Solución. En primer lugar, observemos que \[(2r-1)^2+(2s-1)^2+(2u-1)^2+(2v-1)^2\geq 0.\] Desarrollando esta desigualdad y agrupando términos llegamos a que \[(r-s^2)+(s-u^2)+(u-v^2)+(v-r^2)\leq 1.\] De aquí deducimos que alguno de estos cuatro números es menor o igual que $\frac{1}{4}$ ya que si todos fuesen mayores que $\frac{1}{4}$, la suma sería mayor que $1$.

Nota. Si se alcanza la igualdad en la desigualdad del enunciado, entonces $r=s=u=v=\frac{1}{2}$.

Solución. Si probamos con valores pequeños de $n$, para $n=1$ ó $n=2$ ambos son iguales pero para $n\gt 2$ parece ser que $n!$ siempre es mayor que $\sqrt{n^n}$, por lo que es razonable intentar probar que $n!\gt\sqrt{n^n}$ para todo $n\gt 2$. Elevando al cuadrado, esto equivale a probar que $(n!)^2\gt{n^n}$ y eso será lo que haremos.

Observemos que $(n!)^2=1^2\cdot2^2\cdots n^2$ y este producto lo podemos reordenar como el producto de $n$ factores (agrupando el primero con el último, el segundo con el penúltimo, etc.), es decir, \[(n!)^2=(1\cdot n)\cdot(2\cdot(n-1))\cdots((n-1)\cdot 2)\cdot(n\cdot 1).\] Ahora vamos a analizar cada término $k(n-k)$. Si nos fijamos bien, la función $f(x)=x(n-x)$ se anula en $x=0$ y $x=n$ y es positiva en el intervalo $(0,n)$. Como su gráfica es una parábola, es fácil ver que los valores más pequeños de $f(x)$ cuando $x$ es un número natural en el intervalo $[1,n-1]$ se alcanzarán para $x=1$ y $x=n-1$, lo que nos dice que $k(n-k)\geq f(1)=n$ para $k$ entre $1$ y $n-1$ y la igualdad se da sólo para $k=1$ y $k=n-1$.

En consecuencia, sustituyendo cada término de la forma $k(n-k)$ por $n$, deducimos que $(n!)^2\geq{n^n}$ y la igualdad se alcanza sólo cuando $n=1$ ó $n=2$.

Solución. La desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores \begin{align*} u&=(a_1^{3/2},a_2^{3/2},\ldots,a_n^{3/2}),\\ v&=(a_1^{1/2},a_2^{1/2},\ldots,a_n^{1/2}), \end{align*} nos dice que \[(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)^2\leq(a_1^3+a_2^3+\ldots+a_n^3)(a_1+a_2\ldots+a_n).\] Observemos que en nuestro caso se da la igualdad puesto que $144^2=96\cdot216$ luego $u$ y $v$ son proporcionales, es decir, existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $u=\lambda v$, luego $a_k^{1/2}=\lambda a_k^{3/2}$ para $1\leq k\leq n$. Elevando al cuadrado, $a_k^3=\lambda^2a_k$ y, sumando en $k$, ha de cumplirse que $216=96\lambda^2$, de donde $\lambda=\frac{3}{2}$. Por tanto, $a_k^3=\frac{9}{4}a_k$ de donde tiene que ser $a_k=\frac{3}{2}$ para todo $k$ y, finalmente, tenemos que $n=64$. Es fácil ver que esta sucesión constante verifica las tres ecuaciones del enunciado.