Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Evidentemente, si tomamos $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$, tenemos una solución. Veremos ahora que, independientemente de los valores de las variables siempre se tiene una desigualdad $\leq$ en la expresión del enunciado y veremos que la igualdad sólo se alcanza para esta solución.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \begin{eqnarray*} u&=&\left(\sqrt{x_1},\sqrt[3]{x_2},\ldots,\sqrt[n+1]{x_n}\right)\\ v&=&\left(1,1,\ldots,1\right) \end{eqnarray*} llegamos a que \[\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n+1]{x_n}\leq\sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2^{2/3}+x_3^{2/4}+\ldots+x_n^{2/(n+1)}}\] Ahora bien, como $x_2,\ldots,x_n$ son mayores o iguales que uno que uno, se tiene que $x_k^{2/(k+1)}\leq x_k$ pues $\frac{2}{k+1}\leq 1$. Esto demuestra la desigualdad que queremos y, si la igualdad se alcanza, entonces $x_2=\ldots=x_n=1$ por la última desigualdad y $x_1=1$ por la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Deducimos que $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$ es la única solución al problema.

Solución. Cambiando el $1$ de los numeradores de las fracciones por $x+y+z$ y operando, la desigualdad a probar es equivalente a \[(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)\geq 64xyz.\] Ahora bien, usando repetidamente la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, tenemos que \begin{align*} 64xyz=64\sqrt{xy}\sqrt{yz}\sqrt{xz}&\leq 8(x+y)(y+z)(x+z)\\ &=8\sqrt{(x+y)(y+z)}\sqrt{(x+y)(x+z)}\sqrt{(x+z)(y+z)}\\ &\leq(x+y+y+z)(x+y+x+z)(x+z+y+z)\\ &=(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) \end{align*} con lo que la desigualdad está probada. La igualdad se alcanza si, y sólo si, $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Solución. Supondremos sin perder generalidad que $a\geq b\geq c\geq d\gt 0$ y llamaremos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado. Si definimos \[x_1=a^3,\quad x_2=b^3,\quad x_3=c^3,\quad x_4=d^3,\] \[y_1=\frac{1}{b+c+d},\quad y_2=\frac{1}{a+c+d},\quad y_3=\frac{1}{a+b+d},\quad y_4=\frac{1}{a+b+c},\] se cumple que $x_1\geq x_2\geq x_3\geq x_4\gt 0$ e $y_1\geq y_2\geq y_3\geq y_4\gt 0$. Por tanto, podemos aplicar la desigualdad de Chebyshev a estos números y obtenemos que \[E\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right).\] La desigualdad entre las medias cúbica y aritmética aplicada a los $x_i$ nos dice que \[\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq\frac{1}{64}(a+b+c+d)^3\] y la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los $y_i$ que \[\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\geq\frac{16}{3(a+b+c+d)}.\] Usando estas dos últimas desigualdades, llegamos a que \[E\geq\frac{16(a+b+c+d)^3}{3\cdot 64(a+b+c+d)}=\frac{1}{12}(a+b+c+d)^2.\] Finalmente, usando que la condición del enunciado se escribe como $(a+c)(b+d)=1$ y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos \[(a+b+c+d)^2\geq 4(a+c)(b+d)=4,\] con lo que $E\geq\frac{1}{3}$ como queríamos probar. Si la igualdad se alcanza, entonces en la desigualdad entre las medias cúbica y aritmética para los $x_i$ se deduce que $a=b=c=d$ y , por la condición $ab+bc+cd+da=1$, estos cuatro números tienen que ser iguales a $\frac{1}{2}$, Se comprueba que, para esa elección, se alcanza la igualdad luego esa es la única solución.

Solución. Llamemos \(E\) al producto que aparece en la desigualdad. Usando que \(\frac{k-1}{k}\lt\frac{k}{k+1}\lt\frac{k+1}{k+2}\) para cualquier número natural \(k\), se tiene que \[\frac{k-1}{k}\frac{k}{k+1}\lt\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\lt\frac{k}{k+1}\frac{k+1}{k+2}\] Usando esto para acotar \(E^2\), tenemos por un lado que \[E^2\lt\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\frac{4}{5}\cdots\frac{2n-1}{2n}\frac{2n}{2n+1}=\frac{1}{2n+1}\] y, por otro lado, \[E^2\gt\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-2}{2n-1}\frac{2n-1}{2n}=\frac{1}{4n}\] De estas dos desigualdades se deducen las del enunciado.

Solución. Para probar el apartado (a) simplemente hay que darse cuenta de que \[\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}\geq 0.\] Es importante observar que, aunque el enunciado no lo especifica, el apartado (a) sólo se cumple cuando $x$ e $y$ son ambos mayores o iguales que cero.

En cuanto al apartado (b), tenemos que \[\frac{x^2+y^2}{2}-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{2}-\frac{x^2+2xy+y^2}{4}=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}\geq 0.\]

La desigualdad del apartado (b) para $x=p+\frac{1}{p}$ e $y=q+\frac{1}{q}$ nos dice que \begin{align*} \frac{(p+\frac{1}{p})^2+(q+\frac{1}{q})^2}{2}&\geq\frac{1}{4}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2=\frac{1}{4}(p+q)^2\left(1+\frac{1}{pq}\right)^2\\ &\geq\frac{1}{4}(p+q)\left(1+\frac{4}{(p+q)^2}\right)^2=\frac{25}{4}.\end{align*} Hemos utilizado que, por el apartado (a), se cumple que $pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}$ y que $p+q=1$.

Nota. La demostración del apartado (c) es un poco indirecta para forzar a usar (a) y (b), seguramente lo que se pretendía al proponer este problema. Una solución más directa es usar la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática para obtener que \[\left(p+\frac{1}{p}\right)^2+\left(q+\frac{1}{q}\right)^2\geq\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2.\] Usando que $p+q=1$ y que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq\frac{4}{p+q}=4$, por la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, se sigue la desigualdad del enunciado.

Para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $p=q=\frac{1}{2}$ (por la igualdad en la desigualdad entre la media aritmética y la media armónica) y se comprueba que, efectivamente, para estos valores se alcanza.