Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Llamemos \(E\) al producto que aparece en la desigualdad. Usando que \(\frac{k-1}{k}\lt\frac{k}{k+1}\lt\frac{k+1}{k+2}\) para cualquier número natural \(k\), se tiene que \[\frac{k-1}{k}\frac{k}{k+1}\lt\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\lt\frac{k}{k+1}\frac{k+1}{k+2}\] Usando esto para acotar \(E^2\), tenemos por un lado que \[E^2\lt\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\frac{4}{5}\cdots\frac{2n-1}{2n}\frac{2n}{2n+1}=\frac{1}{2n+1}\] y, por otro lado, \[E^2\gt\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-2}{2n-1}\frac{2n-1}{2n}=\frac{1}{4n}\] De estas dos desigualdades se deducen las del enunciado.

Solución. Para probar el apartado (a) simplemente hay que darse cuenta de que \[\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}\geq 0.\] Es importante observar que, aunque el enunciado no lo especifica, el apartado (a) sólo se cumple cuando $x$ e $y$ son ambos mayores o iguales que cero.

En cuanto al apartado (b), tenemos que \[\frac{x^2+y^2}{2}-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{2}-\frac{x^2+2xy+y^2}{4}=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}\geq 0.\]

La desigualdad del apartado (b) para $x=p+\frac{1}{p}$ e $y=q+\frac{1}{q}$ nos dice que \begin{align*} \frac{(p+\frac{1}{p})^2+(q+\frac{1}{q})^2}{2}&\geq\frac{1}{4}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2=\frac{1}{4}(p+q)^2\left(1+\frac{1}{pq}\right)^2\\ &\geq\frac{1}{4}(p+q)\left(1+\frac{4}{(p+q)^2}\right)^2=\frac{25}{4}.\end{align*} Hemos utilizado que, por el apartado (a), se cumple que $pq\leq\frac{(p+q)^2}{4}$ y que $p+q=1$.

Nota. La demostración del apartado (c) es un poco indirecta para forzar a usar (a) y (b), seguramente lo que se pretendía al proponer este problema. Una solución más directa es usar la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática para obtener que \[\left(p+\frac{1}{p}\right)^2+\left(q+\frac{1}{q}\right)^2\geq\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2.\] Usando que $p+q=1$ y que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq\frac{4}{p+q}=4$, por la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, se sigue la desigualdad del enunciado.

Para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $p=q=\frac{1}{2}$ (por la igualdad en la desigualdad entre la media aritmética y la media armónica) y se comprueba que, efectivamente, para estos valores se alcanza.

Solución. Escribamos $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ y observemos que \begin{align*} P(8)&=a_0+2^3a_1+2^6a_2+\ldots+2^{3n}a_n\\ &=\sqrt{a_0}\sqrt{a_0}+\sqrt{2^2a_1}\sqrt{2^4a_1}+\sqrt{2^4a_2}\sqrt{2^8a_2}+\ldots+\sqrt{2^{2n}a_n}\sqrt{2^{4n}a_n}\\ &\leq\sqrt{a_0+2^2a_1+\ldots+2^{2n}a_n}\sqrt{a_0+2^4a_1+\ldots+2^{4n}a_n}\ =\ \sqrt{P(2)P(4)}\ =\ 4 \end{align*} donde hemos aplicado la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \[u=\left(\sqrt{a_0},\sqrt{2^2a_1},\ldots,\sqrt{2^{2n}a_n}\right),\] \[v=\left(\sqrt{a_0},\sqrt{2^4a_1},\ldots,\sqrt{2^{4n}a_n}\right).\]

La igualdad se alcanza cuando exista $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $u=\lambda v$. El cociente entre las primeras componentes de $u$ y $v$ es igual a 1, entre las segundas es igual a $2$, entre las terceras $2^2$ y así sucesivamente siempre que el correspondiente coeficiente de $P(x)$ no se anule. Por tanto si existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $u=\lambda v$, $P(x)$ sólo puede tener un coeficiente no nulo, esto es, $P(x)=ax^k$ para cierto $a\geq 0$ y $k\in\mathbb{N}$. Además tiene que cumplir que $P(4)=2^{2k}a=2$ y $P(16)=2^{4k}a=8$, de donde se obtiene que $a=\frac{1}{2}$ y $k=1$. Por lo tanto, el único polinomio con coeficientes positivos que cumple la igualdad es $P(x)=\frac{1}{2}x$.

Solución. La segunda derivada del polinomio también tiene coeficientes no negativos, luego $P(x)$ es una función convexa en $(0,+\infty)$. La desigualdad de Jensen nos dice entonces que \[P(8)=P(\frac{2}{3}\cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 16)\leq \frac{2}{3}\cdot P(4)+\frac{1}{3}\cdot P(16)=\frac{2}{3}\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 8=4.\] La igualdad se alcanza únicamente si el polinomio es lineal, es decir, si se trata de $P(x)=\frac{1}{2}x$.

Solución. En primer lugar, no es difícil probar que cada sumando $\frac{k}{x-k}$ es una función decreciente de $x$ que tiene una asíntota vertical en $x=k$, es negativa para $x\lt k$ y tiende a $0$ cuando $x\rightarrow+\infty$. Por lo tanto, la suma de todas ellas, $f(x)=\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}$ es también una función decreciente, tiene asíntotas verticales en $x=k$ para cada $k\in\{1,\ldots,70\}$, es negativa para $x\lt 1$ y tiende a cero cuando $x\rightarrow +\infty$. De aquí es fácil ver que el conjunto del que habla el enunciado está dado por \[S=(1,x_1]\cup (2,x_2]\cup\ldots\cup (70,x_{70}]\] para ciertos números reales $x_1,\ldots,x_{70}$ que cumplen que $k\lt x_k\lt k+1$. La suma de las longitudes de los intervalos que forman $S$ es \[L=(x_1-1)+(x_2-1)+\ldots+(x_{70}-1)=(x_1+\ldots+x_{70})-(1+2+\ldots+70).\]

Observemos que $x_1,\ldots,x_{70}$ no son otra cosa que las soluciones de la ecuación $f(x)=\frac{5}{4}$. Multiplicando esta ecuación por $(x-1)\cdots(x-70)$ la podemos expresar como \begin{eqnarray} &&(x-2)(x-3)\cdots(x-70)+2(x-1)(x-3)\cdots(x-70)+\ldots+70(x-1)\cdots(x-69)\\ &&\quad =\frac{5}{4}(x-1)\cdots(x-70). \end{eqnarray} Necesitamos encontrar la suma de las raíces de este polinomio de grado $70$, pero esto no es más que el coeficiente de grado $69$ entre el de grado $70$. Usando esta regla y con un poco de cuidado se calcula \[x_1+\ldots+x_{70}=\frac{9}{5}(1+2+\ldots+70).\] Tenemos entonces que la longitud buscada es \[L=\frac{4}{5}(1+\ldots+70)=\frac{4\cdot 70\cdot 71}{2\cdot 5}=1988.\]

Solución. En primer lugar, $2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-1\geq -1$ y de aquí deducimos la desigualdad de la izquierda. Para la desigualdad de la derecha, podemos usar las desigualdades $ab\leq\frac{1}{2}(a^2+b^2)$, $bc\leq\frac{1}{2}(b^2+c^2)$ y $ac\leq\frac{1}{2}(a^2+c^2)$, que nos dicen directamente que $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=1$. La igualdad en la desigualdad de la izquierda se tiene obviamente cuando $a+b+c=0$ y en la de la izquierda cuando $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$.