Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales y $c_1,c_2,\ldots,c_n,d_1,d_2,\ldots,d_n$ números reales positivos. Definimos \[e_{ij}=\frac{a_i+b_j}{c_i+d_j},\qquad M_i=\max_{0\leq j\leq n} e_{ij},\qquad m_j=\min_{1\leq i\leq n}e_{ij}.\] Demostrar que existe un valor $e_{ij}$ con $1\leq i,j\leq n$ tal que $e_{ij}=M_i=m_j$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que \[a^3+b^3+c^3+3abc\gt ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a).\]

Dados $n$ vectores unitarios en el plano cuya suma tenga longitud menor que $1$. Demostrar que se pueden ordenar los vectores de manera que la suma de los $k$ primeros vectores tenga módulo menor que $2$ para todo $1\leq k\leq n$.

Sean $a,b,c$ números reales que satisfacen 1 \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=1\quad\text{y}\quad ab+bc+ca\gt 0.\] Demostrar que \[a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}\geq 4.\]

Sean $a,b,c,d$ números reales no nulos y distintos entre sí y tales que \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4\quad\text{y}\quad ac=bd.\] Hallar el mayor valor posible de \[\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}.\]