Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen números positivos $a,b,c,A,B,C\gt 0$ tales que $a+A=b+B=c+C=k$. Demostrar que \[aA+bB+cC\leq k^2.\]

Diez deportistas han participado en un torneo de tenis de mesa, habiéndose enfrentado entre sí cada posible pareja una única vez y sin haberse producido empates. Denotamos por $x_i$ e $y_i$, respectivamente, al número de victorias y derrotas del jugador $i$-ésimo. Demostrar que \[x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{10}^2\leq y_1^2+y_2^2+\ldots+y_{10}^2.\]

Demostrar que \[|\mathrm{sen}(1)|+|\mathrm{sen}(2)|+\ldots+|\mathrm{sen}(3n)|\gt\frac{8n}{5}.\]

Demostrar que \[\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_1+a_2}+\ldots+\frac{n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}\lt 4\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)\] para cualesquiera números reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Encontrar todos los pares de números reales $(x,y)$ que verifican \[|\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y)|+\mathrm{sen}(x)\,\mathrm{sen}(y)\leq 0.\]