Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que \[|\mathrm{sen}(1)|+|\mathrm{sen}(2)|+\ldots+|\mathrm{sen}(3n)|\gt\frac{8n}{5}.\]

Demostrar que \[\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_1+a_2}+\ldots+\frac{n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}\lt 4\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)\] para cualesquiera números reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Encontrar todos los pares de números reales $(x,y)$ que verifican \[|\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y)|+\mathrm{sen}(x)\,\mathrm{sen}(y)\leq 0.\]

Sea $0\lt a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots$ una sucesión estrictamente creciente y no acotada de números reales positivos.

1. Demostrar que existe $k$ tal que, para todo $h\gt k$, se cumple que \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_h}{a_{h+1}}\lt h-1\]
2. Demostrar que existe $k$ tal que, para todo $h\gt k$, se cumple que \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_h}{a_{h+1}}\lt h-1985.\]

Determinar si $\ln(1.01)$ es mayor o menor que $\frac{2}{201}$ sin usar cálculo diferencial.