Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n\geq 3$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ es el mayor de ellos. Se sabe que para cualesquiera tres enteros distintos $1\leq i,j,k\leq n$, si $a_i\leq a_j\leq a_k$, entonces $a_ia_k\leq a_j^2$. Demostrar que \[a_1a_2\cdots a_n\geq m^2M^{n-2}\] y determinar cuándo se cumple la igualdad.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demostrar que \[a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]

Sean $x,y,z$ números reales tales que $x+y+z\geq xyz$. Encontrar el menor valor posible de \[\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}.\]

Una sucesión $\{x_n\}$ está definida por \[x_1=\frac{1}{2},\qquad x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}.\] Demostrar que $x_{2001}\lt 1001$.

Encontrar todas las listas $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ de números reales no negativos que satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. $x1\leq x2\leq\ldots\leq x_{2020}$,
2. $x_{2020}\leq x_1+1$,
3. existe una permutación $(y_1, y_2,\ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ tal que \[\sum_{i=1}^{2020}((x_i+1)(y_i+1))^2=8\sum_{i=1}^{2020}x_i^3.\]