Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $0\lt a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots$ una sucesión estrictamente creciente y no acotada de números reales positivos.

1. Demostrar que existe $k$ tal que, para todo $h\gt k$, se cumple que \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_h}{a_{h+1}}\lt h-1\]
2. Demostrar que existe $k$ tal que, para todo $h\gt k$, se cumple que \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_h}{a_{h+1}}\lt h-1985.\]

Determinar si $\ln(1.01)$ es mayor o menor que $\frac{2}{201}$ sin usar cálculo diferencial.

Se consideran puntos $A,B,C,D$ sobre una recta en este orden. Demostrar que si $X$ es un punto que no pertenece a la recta, entonces \[AX+DX+|AB-CD|\gt BX+CX.\]

En una tabla $3\times n$, la primera fila contiene $n$ números reales en orden creciente, la segunda fila contiene los mismos $n$ números en cierto orden y la tercera fila es la suma de las dos primeras. Demostrar que si esta tercera fila también está en orden creciente, entonces la segunda fila coincide con la primera.

Sea $n\geq 3$ un entero. Se escriben números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ alrededor de una circunferencia en este orden. Supongamos que \[r_1=\frac{x_n+x_2}{x_1},\quad r_2=\frac{x_1+x_3}{x_2},\quad r_3=\frac{x_2+x_4}{x_3},\quad\ldots\quad r_n=\frac{x_{n-1}+x_1}{x_n}\] son todos números enteros. Demostrar que \[2n\leq r_1+r_2+\ldots+r_n\lt 3n.\]