Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.\]

Sean $n$ un entero positivo impar y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demostrar que \[\min_{1\leq i\leq n}\{x_i^2+x_{i+1}^2\}\leq\max_{1\leq j\leq n}\{2x_jx_{j+1}\},\] donde $x_{n+1}=x_1$.

Determina todos los números reales $t$ tales que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces $a^2+bct,b^2+cat,c^2+abt$ son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.

Sea $n\geq 3$ un entero y sean $a_2, a_3,\ldots, a_n$ números reales positivos tales que $a_2a_3\cdots a_n =1$. Demostrar que \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n\gt n^n.\]