Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 2476
ASU, 1984-P18
Se consideran puntos $A,B,C,D$ sobre una recta en este orden. Demostrar que si $X$ es un punto que no pertenece a la recta, entonces \[AX+DX+|AB-CD|\gt BX+CX.\]
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Problema 2468
ASU, 1984-P10
En una tabla $3\times n$, la primera fila contiene $n$ números reales en orden creciente, la segunda fila contiene los mismos $n$ números en cierto orden y la tercera fila es la suma de las dos primeras. Demostrar que si esta tercera fila también está en orden creciente, entonces la segunda fila coincide con la primera.
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Problema 2465
ASU, 1984-P7
Sea $n\geq 3$ un entero. Se escriben números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ alrededor de una circunferencia en este orden. Supongamos que \[r_1=\frac{x_n+x_2}{x_1},\quad r_2=\frac{x_1+x_3}{x_2},\quad r_3=\frac{x_2+x_4}{x_3},\quad\ldots\quad r_n=\frac{x_{n-1}+x_1}{x_n}\] son todos números enteros. Demostrar que \[2n\leq r_1+r_2+\ldots+r_n\lt 3n.\]
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Problema 2463
ASU, 1984-P5
Demostrar que para cualesquiera $a,x,y\in\mathbb{R}$ con $x,y\geq 0$, se cumple que \[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\lt x+y.\]
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$.
Solución. Podemos aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (ver la nota) a los números $x$ e $y$ (que se suponen positivos) con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$ (que suman $1$) para obtener que \[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\leq x\,\mathrm{sen}^2(a)+y\cos^2(a)\leq x+y.\] En la última desigualdad hemos usado que $\mathrm{sen}^2(a)\leq 1$ y $\cos^2(a)\leq 1$. Sin embargo, como $x,y\gt 0$ y no se puede cumplir que $\mathrm{sen}^2(a)=\cos^2(a)=1$, se tiene una desigualdad estricta, como queríamos probar.

Nota. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$ con pesos $w_1,w_2,\ldots,w_n\geq 0$ tales que $w_1+w_2+\ldots+w_n=1$ es la desigualdad \[x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}\leq w_1x_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n.\]

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Problema 2460
ASU, 1984-P2
Dados $a$ y $b$ reales positivos, demostrar que se cumple la desigualdad \[\tfrac{1}{2}(a+b)^2 + \tfrac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}.\]
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