Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las funciones $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ tales que \[\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}\] para todos los números reales positivos $w,x,y,z$ que satisfacen $wx=yz$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ numeros reales. Para $1\leq i\leq n$, se define \[d_i=\max\{a_j:1\leq j\leq i\}-\min\{a_j:i\leq j\leq n\}\] y sea $d=\max\{d_i:1\leq i\leq n\}$.

1. Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$, se cumple que \[\max\{|x_i-a_i|:1\leq i\leq n\}\geq\frac{d}{2}.\]
2. Demostrar que hay números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$ para los cuales se alcanza la igualdad en la desigualdad del apartado (a).

Asignamos a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a $b$ como uno de sus lados y que está contenido en $P$. Demostrar que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es mayor o igual que el doble del área de $P$.

Determinar el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|\leq M(a^2+b^2+c^2)^2\] se cumple para todos los números reales $a,b,c$.