Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 2465
ASU, 1984-P7
Sea $n\geq 3$ un entero. Se escriben números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ alrededor de una circunferencia en este orden. Supongamos que \[r_1=\frac{x_n+x_2}{x_1},\quad r_2=\frac{x_1+x_3}{x_2},\quad r_3=\frac{x_2+x_4}{x_3},\quad\ldots\quad r_n=\frac{x_{n-1}+x_1}{x_n}\] son todos números enteros. Demostrar que \[2n\leq r_1+r_2+\ldots+r_n\lt 3n.\]
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Problema 2463
ASU, 1984-P5
Demostrar que para cualesquiera $a,x,y\in\mathbb{R}$ con $x,y\geq 0$, se cumple que \[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\lt x+y.\]
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$.
Solución. Podemos aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (ver la nota) a los números $x$ e $y$ (que se suponen positivos) con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$ (que suman $1$) para obtener que \[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\leq x\,\mathrm{sen}^2(a)+y\cos^2(a)\leq x+y.\] En la última desigualdad hemos usado que $\mathrm{sen}^2(a)\leq 1$ y $\cos^2(a)\leq 1$. Sin embargo, como $x,y\gt 0$ y no se puede cumplir que $\mathrm{sen}^2(a)=\cos^2(a)=1$, se tiene una desigualdad estricta, como queríamos probar.

Nota. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$ con pesos $w_1,w_2,\ldots,w_n\geq 0$ tales que $w_1+w_2+\ldots+w_n=1$ es la desigualdad \[x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}\leq w_1x_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n.\]

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Problema 2460
ASU, 1984-P2
Dados $a$ y $b$ reales positivos, demostrar que se cumple la desigualdad \[\tfrac{1}{2}(a+b)^2 + \tfrac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}.\]
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Problema 2453
ASU, 1983-P17
Un rectángulo de lados $1$ y $k$ se divide en cuatro rectángulos mediante dos rectas paralelas a sus lados. Si uno de tales rectángulos tiene área mayor o igual que $1$ y otro tiene área mayor o igual que $2$, ¿cuál es el menor valor posible de $k$?
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Problema 2432
USAMO, 1994-P4
Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión infinita de números reales positivos que cumplen que $\sum_{j=1}^na_j\geq\sqrt{n}$ para todo $n\geq 1$. Demostrar que, para todo $n\geq 1$, se tiene que \[\sum_{j=1}^na_j^2\gt\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right).\]
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