Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xyz\geq 1$. Probar que \[\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}+\frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5}\geq 0.\]

Sea $n\geq 3$ un entero y sean $t_1,t_2,\ldots,t_n$ números reales positivos tales que \[n^2+1\gt (t_1+t_2+\ldots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\ldots+\frac{1}{t_n}\right).\] Demostrar que $t_i,t_j,t_k$ son las medidas de los lados de un triángulo para todos los índices $i,j,k$ con $1\leq i\lt j\lt k\leq n$.

Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$.

1. Demostrar que \[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leq\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2.\]
2. Demostrar que se cumple la igualdad si y solo si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ forman una progresión aritmética.

Demostrar que \[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1\] para cualesquiera números reales positivos $a$, $b$ y $c$.

Sean $A,B,C$ reales positivos cuyo producto es $1$. Probar que \[\left(A-1+\frac{1}{B}\right)\left(B-1+\frac{1}{C}\right)\left(C-1+\frac{1}{A}\right)\leq 1.\]