Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ una sucesión no decreciente de enteros positivos. Para cada $m\geq 1$, definimos $b_m=\min\{n:a_n\geq m\}$, es decir, $b_m$ es el valor mínimo de $n$ tal que $a_n\geq m$. Si $a_{19}=85$, determinar el máximo valor posible de \[a_1+a_2+\ldots+a_{19}+b_1+b_2+\ldots+b_{19}.\]

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio tales que a lo sumo una de las distancias $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ es mayor que $1$. Determinar el máximo valor posible de las suma de las seis distancias.

Demostrar que, para cualquier número real positivo $x$, se cumple que \[\lfloor nx\rfloor\geq\sum_{k=1}^n\frac{\lfloor kx\rfloor}{k},\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$.

Demostrar que, en un triángulo de ángulos $A,B,C$, se cumple que \[\frac{3\sqrt{3}}{2}\geq\sin(3A)+\mathrm{sen}(3B)+\mathrm{sen}(3C)\geq -2.\] ¿Cuándo se alcanzan las igualdades?

Si $0\leq x,y,z\leq 1$ son números reales, demostrar que \[\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z).\]