Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n\geq 2$ un entero fijo.

1. Determinar la menor constante $C$ tal qu la desigualdad \[\sum_{1\leq i\lt j\leq n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\leq C\left(\sum_{1\leq i\leq n}x_i\right)^4\] se cumple para cualesquiera números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$.
2. Para dicha constante $C$, determinar cuándo se alcanza la igualdad.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $|x_1+\ldots+x_n|=1$ y $|x_i|\leq\frac{n+1}{2}$ para $1\leq i\leq n$. Demostrar que existe una permutación $y_1,y_2,\ldots,y_n$ de $x_1,x_2,\ldots,x_n$ tal que \[|y_1+2y_2+\ldots+ny_n|\leq\frac{n+1}{2}.\]

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $DF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_A,R_C,R_E$ los circunradios de los triángulos $FAB,BCD,DEF$, respectivamente, y sea $p$ el perímetro del hexágono. Demostrar que \[R_A+R_B+R_C\geq\frac{p}{2}.\]

Dados tres puntos $P,Q,R$ en el plano, definimos $m(PQR)$ como la menor de las longitudes de las alturas del triángulo $PQR$. Si los puntos $P,Q,R$ no forman un triángulo porque están alineados, definimos $m(PQR)=0$. Demostrar que, dados cuatro puntos $A,B,C,X$ en el plano, se cumple que \[m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).\]

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$. Las bisectrices interiores de los ángulos $A,B,C$ cortan a los lados opuestos en $A',B',C'$, respectivamente. Demostrar que \[\frac{1}{4}\lt\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq \frac{8}{27}.\]