Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un tetraedro $T'$ tiene todos sus vértices en el interior o sobre las caras de otro tetraedro $T$. Demostrar que la suma de las longitudes de las aristas de $T'$ es menor que $\frac{4}{3}$ de la suma de las longitudes de las aristas de $T$.

Dado un número real $a$, denotaremos por $\{a\}$ la diferencia en valor absoluto entre $a$ y el entero más cercano a $a$ (por ejemplo, $\{3.8\}=0.2$ y $\{-5.4\}=0.4$). Demostrar que \[\{a\}\leq\frac{|a(a-1)\cdots(a-n)|}{n!2^n},\] para cualquier número real $a$.

Demostrar que \[2^{x^{1/12}}+2^{x^{1/4}}\geq 2^{1+x^{1/6}}\] para todo número real positivo $x$.

Hallar el menor valor posible de \[4+x^2y^4+x^4y^2-3x^2y^2,\] siendo $x$ e $y$ números reales. Demostrar que este polinomio no se puede expresar como suma de cuadrados de polinomios.

Una persona dibuja un polígono convexo en el interior de un círculo de radio $1$. Otra persona intenta copiar este polígono empezando en uno de sus vértices y después dibujando los lados sucesivamente. Esta segunda persona copia los ángulos perfectamente pero comete un error en la longitud de cada lado. El cociente entre la longitud que pinta y la original está entre $1-p$ y $1+p$ para cierto parámetro $p\gt 0$. Como resultado, el último vértice que pinta, que debería cerrar el polígono, termina a distancia $d$ del punto inicial. Demostrar que $d\lt 4p$.