Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que, en un triángulo de ángulos $A,B,C$, se cumple que \[\frac{3\sqrt{3}}{2}\geq\sin(3A)+\mathrm{sen}(3B)+\mathrm{sen}(3C)\geq -2.\] ¿Cuándo se alcanzan las igualdades?

Si $0\leq x,y,z\leq 1$ son números reales, demostrar que \[\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z).\]

Un tetraedro $T'$ tiene todos sus vértices en el interior o sobre las caras de otro tetraedro $T$. Demostrar que la suma de las longitudes de las aristas de $T'$ es menor que $\frac{4}{3}$ de la suma de las longitudes de las aristas de $T$.

Dado un número real $a$, denotaremos por $\{a\}$ la diferencia en valor absoluto entre $a$ y el entero más cercano a $a$ (por ejemplo, $\{3.8\}=0.2$ y $\{-5.4\}=0.4$). Demostrar que \[\{a\}\leq\frac{|a(a-1)\cdots(a-n)|}{n!2^n},\] para cualquier número real $a$.

Demostrar que \[2^{x^{1/12}}+2^{x^{1/4}}\geq 2^{1+x^{1/6}}\] para todo número real positivo $x$.