Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demostrar que, para todo $k\geq 2$, existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no todos iguales a cero tales que $|a_i|\leq k-1$ para todo $i$ y \[|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\leq\frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}\]

Consideremos las sucesiones crecientes infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos con $x_0=1$.

1. Demostrar que para cualquier sucesión de este tipo, existe algún $n\geq 1$ tal que \[\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\geq 3.999.\]
2. Encontrar una sucesión de este tipo para la que \[\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\lt 4\] para todo $n\geq 1$.

Hallar razonadamente el mayor número que es producto de enteros positivos cuya suma es $1976$.

Encontrar todos los números reales $a$ para los que existen números reales no negativos $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ satisfaciendo las relaciones \[\sum_{k=1}^5kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3.\]

Sea $\{a_k\}$ una sucesión de enteros positivos distintos. Demostrar que \[\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\geq \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\] para todo entero positivo $n$.