Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una persona dibuja un polígono convexo en el interior de un círculo de radio $1$. Otra persona intenta copiar este polígono empezando en uno de sus vértices y después dibujando los lados sucesivamente. Esta segunda persona copia los ángulos perfectamente pero comete un error en la longitud de cada lado. El cociente entre la longitud que pinta y la original está entre $1-p$ y $1+p$ para cierto parámetro $p\gt 0$. Como resultado, el último vértice que pinta, que debería cerrar el polígono, termina a distancia $d$ del punto inicial. Demostrar que $d\lt 4p$.

Los números reales positivos $x$ e $y$ cumplen que $x^3+y^3=x-y$. Demostrar que $x^2+y^2\lt 1$.

Sean $a$ y $b$ números reales tales que la inecuación \[a\cos(x)+b\cos(3x)\gt 1\] no tiene soluciones reales. Demostrar que $|b|\leq 1$.

Sea $S$ el conjunto de los puntos $(x,y)$ del plano que cumplen \[x^2-2x+a\leq y\leq -x^2\] para cierto parámetro real $a$. Hallar el menor área posible que puede tener un rectángulo con lados paralelos a los ejes tal que $S$ queda en su interior.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$. Probar que \[(x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2\geq 4(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2).\]