Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio tales que a lo sumo una de las distancias $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ es mayor que $1$. Determinar el máximo valor posible de las suma de las seis distancias.

Demostrar que, para cualquier número real positivo $x$, se cumple que \[\lfloor nx\rfloor\geq\sum_{k=1}^n\frac{\lfloor kx\rfloor}{k},\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$.

Demostrar que, en un triángulo de ángulos $A,B,C$, se cumple que \[\frac{3\sqrt{3}}{2}\geq\sin(3A)+\mathrm{sen}(3B)+\mathrm{sen}(3C)\geq -2.\] ¿Cuándo se alcanzan las igualdades?

Si $0\leq x,y,z\leq 1$ son números reales, demostrar que \[\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z).\]

Un tetraedro $T'$ tiene todos sus vértices en el interior o sobre las caras de otro tetraedro $T$. Demostrar que la suma de las longitudes de las aristas de $T'$ es menor que $\frac{4}{3}$ de la suma de las longitudes de las aristas de $T$.