Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si $a,b,c$ son números reales positivos, demostrar que \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 3(b-c)(a-b).\] ¿Cuándo se verifica la igualdad?

Sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ números enteros positivos tales que \[\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} \geq 1.\] Demostrar que \[\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i + 1} \geq \frac{1}{2}.\]

Sean $a_0, a_1, \dots, a_n$ números del intervalo $(0, \pi/2)$ tales que \[\tan\left(a_0 - \frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(a_1 - \frac{\pi}{4}\right) + \dots + \tan\left(a_n - \frac{\pi}{4}\right) \geq n - 1.\] Demostrar que \[\tan a_0 \cdot \tan a_1 \cdot \dots \cdot \tan a_n \geq n^{n+1}.\]

Demostrar que, para cualesquiera números reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que \[\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}.\]

Truncar un $n$-gono convexo significa elegir un par de lados consecutivos $AB$, $BC$ y reemplazarlos por los tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. Es decir, se corta el triángulo $MBN$ para obtener un $(n+1)$-gono convexo. Un hexágono regular $P_6$ de área $1$ se corta para obtener un heptágono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta (de una de las siete maneras posibles) para obtener un octágono $P_8$, y así sucesivamente. Demostrar que, sin importar cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $\frac{1}{3}$ para todo $n \geq 6$.