Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales, definimos $\displaystyle b_k=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_k}{k}$ para $1\leq k\leq n$. Sean \begin{align*} C&=(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2,\\ D&=(a_1-b_n)^2+(a_2-b_{n-1})^2+\ldots+(a_n-b_1)^2.\\ \end{align*} Demostrar que $C\leq D\leq 2C$.

Sean $a$ y $b$ números reales positivos y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales comprendidos entre $a$ y $b$. Demostrar que \[(x_1+x_2+\ldots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\right)\leq \frac{n^2(a+b)^2}{4ab}.\]

Probar que existe una sucesión infinita de números reales $x_1,x_2,x_3,\ldots$ que cumple las siguientes dos condiciones:

• Existe $M>0$ tal que $|x_n|\lt M$ para todo $n$.
• $|x_m-x_n|\gt\frac{1}{m-n}$ para todo $m$ y $n$.

Consideremos una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de enteros positivos. Sea $S$ el conjunto de todas las sumas de uno o más elementos de la sucesión. Demostrar que $S$ se puede dividir en $n$ subconjuntos tales que el mínimo de cada subconjunto es mayor o igual que la mitad del máximo.

Se escriben $n$ números alrededor de una circunferencia. Estos números tienen suma $0$ y uno de ellos es igual a $1$.

1. Probar que hay dos números consecutivos cuya diferencia es menor o igual que $\frac{n}{4}$.
2. Probar que existe un número que difiere de la media aritmética de sus dos vecinos al menos $\frac{8}{n^2}$.
3. Mejorar la estimación del apartado (b) sustituyendo $8$ por un valor mayor.
4. Demostrar que, para $n=30$, hay un número que difieren de la media aritmética de sus dos vecinos al menos $\frac{2}{113}$ y de un ejemplo de de $30$ números tales que ninguno de ellos difiere de la media aritmética de sus vecinos más de $\frac{2}{113}$.