Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las listas $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ de números reales no negativos que satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. $x1\leq x2\leq\ldots\leq x_{2020}$,
2. $x_{2020}\leq x_1+1$,
3. existe una permutación $(y_1, y_2,\ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ tal que \[\sum_{i=1}^{2020}((x_i+1)(y_i+1))^2=8\sum_{i=1}^{2020}x_i^3.\]

Encontrar todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.\]

Sean $n$ un entero positivo impar y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demostrar que \[\min_{1\leq i\leq n}\{x_i^2+x_{i+1}^2\}\leq\max_{1\leq j\leq n}\{2x_jx_{j+1}\},\] donde $x_{n+1}=x_1$.

Determina todos los números reales $t$ tales que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces $a^2+bct,b^2+cat,c^2+abt$ son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.