Problemas de Matemáticas

Problema 2076

Sean $x,y,z$ números reales tales que $x+y+z\geq xyz$. Encontrar el menor valor posible de \[\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}.\]

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Problema 2073

Una sucesión $\{x_n\}$ está definida por \[x_1=\frac{1}{2},\qquad x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}.\] Demostrar que $x_{2001}\lt 1001$.

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Problema 2043

Encontrar todas las listas $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ de números reales no negativos que satisfacen las siguientes tres condiciones:

$x1\leq x2\leq\ldots\leq x_{2020}$,
$x_{2020}\leq x_1+1$,
existe una permutación $(y_1, y_2,\ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ tal que \[\sum_{i=1}^{2020}((x_i+1)(y_i+1))^2=8\sum_{i=1}^{2020}x_i^3.\]

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Problema 2036

Encontrar todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.\]

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Problema 2035

Demostrar que para todo número real $t$ tal que $0\lt t\lt \frac{1}{2}$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m\geq 0$, tales que \[|x-my|\leq ty.\]
Determinar si para todo número real $t$ tal que $0\lt t\lt \frac{1}{2}$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que \[|x-my|\gt ty\] para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m\gt 0$.

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