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Problema 1570
OME Nacional, 1974-P2
En un disco metálico se quita un sector circular de modo que con la parte restante se pueda formar un vaso cónico de volumen máximo. Calcular, en radianes, el ángulo del sector que se quita.
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Problema 1558problema obsoleto
OME Nacional, 1973-P1
Dada la sucesión $\{a_n\}$ definida por \[a_n=\tfrac{1}{4}n^4-10n^2(n-1),\qquad n\geq 0,\] determinar el término menor de la sucesión.
pistasolución 1info
Pista. Estudia la monotonía del polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^2(x-1)$.
Solución. Consideremos el polinomio $f(x)=\frac{1}{4}x^4-10x^3+10x^2$, que tiene derivada $f'(x)=x^3-30x^2+20x$. Esta derivada se anula en $x=0$ y en $x=15\pm\sqrt{205}$. Además, se cumple que $14\lt \sqrt{205}\lt 15$, luego se sigue fácilmente que $f(x)$ crece en $(0,15-\sqrt{205})\cup(15+\sqrt{205},+\infty)$ y decrece en $(-\infty,0)\cup(15-\sqrt{205},15+\sqrt{205})$. Por lo tanto, $a_{29}$ es menor que $a_1,a_2,\ldots,a_{28}$ y $a_{30}$ es menor que $a_{31},a_{32},\ldots$. De esta forma únicamente $n=0$, $n=29$ y $n=30$ son los candidatos a mínimo de la sucesión. Podemos evaluar fácilmente \[a_0=0,\qquad a_{29}=-58659.8,\qquad a_{30}=-58500,\] luego el mínimo absoluto de la sucesión es $a_{29}=-58659,\!8$.
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Problema 1554problema obsoleto
OME Nacional, 1972-P2
Un punto se mueve sobre los lados el triángulo $ABC$, cuyos vértices tienen coordenadas $A=(-1.8,0)$, $B=(3.2,0)$ y $C=(0,2.4)$. Determinar las posiciones de dicho punto en las que la suma de sus distancias a los tres vértices es máxima o mínima.
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Problema 1551
ASU, 1971-P14
  1. Dada la función $f(x,y)=x^2+xy+y^2$, probar que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$ existen enteros $m$ y $n$ tales que $f(x-m,y-n)\leq\frac{1}{3}$.
  2. Si ahora tomamos la función $f(x,y)=x^2+axy+y^2$ con $0\leq a\leq 2$, ¿cuál es la menor constante $c$ tal que podemos asegurar que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ existen $m,n\in\mathbb{Z}$ tales que $f(x-m,y-n)\leq c$?
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Problema 1526
ASU, 1970-P2
El producto de tres números positivos es igual a $1$ y su suma es mayor que la suma de sus inversos. Demostrar que solo uno de los números es mayor que $1$.
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