Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determina todos los números reales $t$ tales que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces $a^2+bct,b^2+cat,c^2+abt$ son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.

Sea $n\geq 3$ un entero y sean $a_2, a_3,\ldots, a_n$ números reales positivos tales que $a_2a_3\cdots a_n =1$. Demostrar que \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n\gt n^n.\]

Hallar todas las funciones $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ tales que \[\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}\] para todos los números reales positivos $w,x,y,z$ que satisfacen $wx=yz$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ numeros reales. Para $1\leq i\leq n$, se define \[d_i=\max\{a_j:1\leq j\leq i\}-\min\{a_j:i\leq j\leq n\}\] y sea $d=\max\{d_i:1\leq i\leq n\}$.

1. Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$, se cumple que \[\max\{|x_i-a_i|:1\leq i\leq n\}\geq\frac{d}{2}.\]
2. Demostrar que hay números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$ para los cuales se alcanza la igualdad en la desigualdad del apartado (a).